Problème B
Partie
Question
Dans cette partie, soit \(n\) un entier, \(n\geq 2\).
On suppose que la propriété (P) est vraie pour tout espace quadratique de dimension \(n-1\).
On considère \((E,f)\) un espace quadratique de dimension \(n\) et \(u\) un automorphisme de \(\bigcirc(E,f)\).
B.1 Montrer qu'il existe des vecteurs de \(E\) qui ne sont pas isotropes.
Question
B.2 Soient \(a\in E\) un vecteur non isotrope, \(F=(Ka)^\bot\) et \(g\) l'application de \(F\times F\) sur \(K\) définie pour \((x_1,x_2)\in F\times F\) par \(g(x_1,x_2)=f(x_1,x_2)\).
Montrer que \((F,g)\) est un espace quadratique de dimension \(n-1\).
Question
B.3 On suppose de plus que \(u(a)=a\).
i. Montrer que \(u\) induit une application linéaire bijective de \(F\) dans \(F\). On note \(v\) cette application.
ii. Montrer que \(v\in \bigcirc(F,g)\).
iii. Montrer qu'il existe des vecteurs non isotropes \(x_1,\ldots,x_k\) de \(F\) tels que les symétries hyperplanes \(s'_{x_1},\ldots,s'_{x_k}\) de \(\bigcirc(F,g)\) vérifient \(v=s'_{x_1}\circ\ldots\circ s'_{x_k}\).
iv. Soit \(s_{x_1},\ldots,s_{x_k}\) les symétries hyperplanes de \(\bigcirc(E,f)\) définies par les vecteurs \(x_1,\ldots,x_k\). Montrer que \(u=s_{x_1}\circ\ldots\circ s_{x_k}\).
Question
B.4 On ne suppose plus \(u(a)=a\). On note \(\alpha=u(a)-a\) et \(\beta=u(a)+a\).
i. Montrer que les vecteurs \(\alpha\) et \(\beta\) sont orthogonaux et qu'au moins l'un d'eux n'est pas isotrope.
ii. Lorsque \(\alpha\) n'est pas isotrope, calculer \(s_{\alpha}(\alpha)\) et \(s_{\beta}(\beta)\) et en déduire que \(s_\alpha\circ u(a)=a\).
iii. Lorsque \(\beta\) n'est pas isotrope, calculer \(s_{\beta}(\beta)\) et \(s_{\beta}(\alpha)\) et en déduire que \(s_{\alpha}\circ s_{\beta}\circ u(a)=a\).
iv. Montrer qu'il existe des symétries hyperplanes \(s_1,s_2,\ldots,s_r\) de \(\bigcirc(E,f)\) telles que \(u=s_1\circ s_2\circ\ldots\circ s_r\).