Vecteurs linéairement dépendants
Des vecteurs \(V_{1}, \ldots, V_{n}\) sont linéairement dépendants s'ils possèdent une relation de dépendance linéaire, \(\sum_{i=1}^n \lambda_{i} V_{i}=0\) (avec les \(\lambda_{i}\) non tous nuls). On peut dire aussi qu'ils forment une famille liée.
Toute famille qui contient une famille liée est liée. Toute famille contenant 0 est liée.
Famille libre
Des vecteurs \(V_{1}, \ldots, V_{n}\) sont linéairement indépendants s'ils ne possèdent pas de relation de dépendance (non triviale).
La famille \(V_{1}, \ldots, V_{n}\) est dite famille de vecteurs linéairement indépendants, ou famille libre.
\(\forall \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n} \in \mathbf{K}~,~ \left ( \lambda_{1} V_{1} +\lambda_{2} V_{2} + \ldots+ \lambda_{n} V_{n} = 0 \right ) ~\Rightarrow (\lambda_{1} = \lambda_{2} = \ldots = \lambda_{n} = 0).\)
Toute sous-famille d'une famille libre est libre.
Vecteurs de l'espace vectoriel réel de dimension 3
Soient trois vecteurs de \(\mathbf{R^3}~, ~X = (x_{1}, x_{2}, x_{3})~, Y = (y_{1}, y_{2}, y_{3})~, Z = (z_{1}, z_{2}, z_{3}).\)
Comment voir si ils sont ou non dépendants ?
On cherche si il existe trois scalaires non tous nuls \(\lambda, \mu , \nu\) dans \(K\) tels que \(\lambda X + \mu Y +\nu Z = 0\). Ce qui se traduit, composante par composante par le système :
\(\left\{ \begin{array}{lcl} \lambda x_{1}+\mu y_{1}+\nu z_{1} &=& 0\\ \lambda x_{2}+\mu y_{2}+\nu z_{2} &=& 0 \\ \lambda x_{3}+\mu y_{3}+\nu z_{3} &=& 0 \end{array}\right.\)
On est amené à résoudre un système linéaire et homogène avec les inconnues \(\lambda, \mu , \nu\) et voir si ce système admet ou non d'autres solutions que la solution \((0, 0, 0)\).
Vecteurs de de l'espace vectoriel réel de dimension n
Soient \(p\) vecteurs \(V_{1}, V_{2}, \ldots,V_{p}.\) Comment déterminer s'ils sont ou non dépendants ? On désigne par \(v_{ij}\) les composantes du vecteur
\(V_{j} = (v_{1j}, v_{2j}, \ldots, v_{nj})\)
Ecrire une relation de dépendance linéaire entre les \(V_{j}\) , c'est écrire
\(\lambda _{1} V_{1} + \ldots +\lambda_{p} V_{p} = 0\)
c'est-à-dire le système linéaire et homogène en les \(\lambda_{i}\) :
\(\left\{ \begin{array}{ccc} v_{11}\lambda_{1}+v_{12}\lambda_{2}+\ldots+v_{1p}\lambda_{p} &=& 0 \\ v_{21}\lambda_{1}+v_{22}\lambda_{2}+\ldots+v_{2p}\lambda_{p} &=& 0 \\ \vdots &\vdots \\v_{n1}\lambda_{1}+v_{n2}\lambda_{2}+\ldots+v_{np}\lambda_{p} &=& 0 \end{array}\right.\)
et voir s'il admet d'autres solutions que la solution \((0, 0, \ldots , 0)\) pour les inconnues \(\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{p}.\)