Introduction
Dans \(\mathrm{I\!R ^ 3}\), si nous nous donnons trois vecteurs, \(V_{1}, V_{2}, V_{3}\), forment-ils un repère ? Oui s'ils sont non coplanaires, non dans les cas particuliers suivants :
un des vecteurs est le vecteur nul,
deux des vecteurs sont colinéaires,
les trois vecteurs sont coplanaires.
Nous pouvons regrouper ces cas particuliers sous une forme unique :
il existe une relation dite de dépendance linéaire entre ces vecteurs qui prend la forme \(\lambda_{1}V_{1} + \lambda_{2}V_{2} + \lambda_{3}V_{3} = 0\), avec des coefficients non tous nuls.
En effet, nous avons les relations suivantes :
dans le cas où \(V_{1} = 0, 1V_{1} + 0V_{2} + 0V_{3} = 0 ~;\)
dans le cas des deux premiers vecteurs colinéaires, c'est-à-dire si \(V_{1} = \lambda V_{2}\), on a
\(1V_{1} - \lambda V{2} + 0V{3} = 0\) ;
dans le cas de trois premiers vecteurs colinéaires, c'est-à-dire si \(V_{1} = \lambda V_{2} + \mu V_{3}\), on a
\(1V_{1} - \lambda V_{2} - \mu V_{3} = 0.\)