Espaces Rn

Si \(F_1\) et \(F_2\) sont deux sous-espaces vectoriels de \(\mathbf{R^n}\) , leur intersection \(F_1 \cap F_2\) est aussi un sous-espace vectoriel de \(\mathbf{R^n}\).

Si \(\left(F_i \right)_{i \in I}\) est une famille de sous-espaces vectoriels de \(\mathbf{R^n}\), leur intersection \(\cap_{i \in I}F_i\) est aussi un sous-espace vectoriel de \(\mathbf{R^n}\)..

• L'intersection \(\cap_{i \in I}F_i\) n'est pas vide puisque chaque sous-espace contient l'élément nul 0 qui est donc dans l'intersection.

• L'intersection de sous-espaces est stable par addition. Soient des vecteurs \(X \in \cap_{i \in I}F_i\) et \(Y \in \cap_{i \in I}F_i\). Pour chaque \(i\), comme \(X \in F_i\) et \(Y \in F_i\) et comme \(F_i\) est un sous-espace vectoriel alors \(X + Y \in I F_i\), et donc \(X + Y \in \cap_{i \in I}F_i\) .

• L'intersection de sous-espaces est stable par multiplication par les scalaires.

• Soit \(\lambda \in K\) et \(X \cap_{i \in I}F_i\). Comme chaque \(F_i\) est un sous-espace vectoriel, si \(X \in F_i\) alors \(\lambda X \in F_i\). Donc \(\forall i \in I~,\lambda X F_i\). Ce qui implique \(\lambda X \in \cap_{i \in I}F_i\) .

Attention, une réunion de sous-espaces d'un espace vectoriel n'est pas en général un sous-espace.