Somme de deux sous-espaces F et F'
Définition :
On appelle somme de deux sous-espaces \(F\) et \(F'\) de \(\mathrm{I\!R^n}\) et on note \(F + F'\) le sous-espace défini par :
\(F + F' = \left\{ y \in \mathrm{I\!R^n} ~| ~\exists \, x \in F, \exists \, x' \in F', y = x + x' \right \}\)
Exemple : Exemples dans l'espace vectoriel réel de dimension 3
La somme de deux droites vectorielles non colinéaires est le plan vectoriel passant par ces deux droites. La somme d'une droite vectorielle et d'un plan est l'espace entier si ces deux plans sont sécants, le plan si la droite est contenue dans le plan.
La somme \(F + F'\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathrm{I\!R^n}\).
En effet, l'élément nul étant à la fois dans \(F\) et dans \(F'\), il est dans la somme \((0 + 0 = 0)\).
\(F + F'\) est stable par addition car \((x +x') + (y + y') = (x + y) + (x' + y')\).
\(F + F'\) est stable par multiplication par un scalaire \(\lambda\) quelconque car
\(\lambda (x + x') = \lambda x + \lambda x'\). Si \(x\) est dans \(F\) alors \(\lambda x\) aussi, et si \(x'\) est dans \(F'\) alors \(\lambda x'\) aussi, par conséquent \(\lambda (x + x')\) est dans \(F + F'\).
Propriété :
\(F + F'\) est le plus petit sous-espace qui contient à la fois \(F\) et \(F'\).
En effet \(F \subset F + F'\) : si \(x \in F\) on peut écrire \(x = x + 0\) avec \(0 \in F'\). (De même \(F' \subset F + F'\) ). Si \(H\) est un sous-espace qui contient à la fois \(F\) et \(F'\), il contient tous les éléments du type \(x + x'\) avec \(x \in F ~~et ~~x' \in F'\), et donc il contient \(F + F'\).
Théorème :
Le sous-espace \(F + F'\) est le plus petit sous-espace qui contient à la fois \(F\) et \(F'\).