Systèmes linéaires

Nous cherchons comment écrire un vecteur quelconque de \(F\) ; cela revient à résoudre le système (1) donné, ce que nous faisons classiquement en commençant par trianguler le système par la méthode du pivot de Gauss :

\(\begin{array}{lllll|llll} x&y&z&t&u &&  \\\hline 1&1&1&1&1&0 \\0&1&1&-1&-1&0 \end{array}.\)

On termine la résolution en exprimant les solutions du système en fonction de \(z, t~ et~ u :\)

\(\left\{ \begin{array}{lll} x &=& -2t-2u \\ y &=& -z+t+u\\z &=& z \\ t&=& t \\ u&=&u \end{array}\right.~~~(1)\)

Les vecteurs de \(F\) sont donc les vecteurs \((x, y, z, t, u)\) de \(\mathrm{I\!R^5}\) qui peuvent s'écrire sous la forme :

\((x, y, z, t, u) = (- 2t - 2u, - z + t + u, z, t, u)\)

ou encore

\((x, y, z, t, u) = z(0, - 1, 1, 0, 0) + t(- 2, 1, 0, 1, 0) + u(- 2, 1, 0, 0, 1).~~~~ (2)\)

Les trois vecteurs

\(Z = (0, - 1, 1, 0, 0), ~~T = (- 2, 1, 0, 1, 0) ~~et~~ U = (- 2, 1, 0, 0, 1)\)

qui interviennent dans la formule \((2)\) forment une base de \(F\).

En effet :

• ils appartiennent à \(F\) car toute combinaison linéaire de ces vecteurs vérifie \((2)\), donc \((1)\), donc appartient à \(F\) ; en particulier, \(Z, T, U\) appartiennent à \(F\) ;

• ils sont indépendants : supposons qu'une combinaison linéaire \(zZ + tT + uU\) soit nulle ; en développant,

  \(zZ + tT + uU = (- 2t - 2u, - z + t + u, z, t, u) = (0, 0, 0, 0, 0)\)

  d'où immédiatement \(z = 0, ~~t = 0 ~~et~~ u = 0\) ;

• ils sont générateurs de \(F\) car tout élément \((x, y, z, t, u)\) de \(F\) vérifie \((1)\), donc \((2)\), donc est combinaison linéaire de \(Z, T ~et~ U.\)

Conclusion

\({ (0, - 1, 1, 0, 0), ( - 2, 1, 0, 1, 0), ( - 2, 1, 0, 0, 1) }\) est une base de \(F\).

Commentaires

• On constate que la vérification en trois points du fait que \(Z, T\) et \(U\) forment une base de \(F\) tient à l'équivalence des systèmes \((1) ~~et~~ (2).\)

• Une autre façon plus concise de constater que \({Z, T, U}\) est une base de \(F\) consiste à interpréter le système \((2)\) de la façon suivante : d'une part, les vecteurs de \(F\) sont les vecteurs qui sont combinaison linéaire de \(Z, T ~et~ U\), et d'autre part, un vecteur combinaison linéaire de \(Z, T\) et \(U\) l'est d'une seule façon.

• Obtenir une base de \(F\) revient à donner des équations paramétriques de \(F\).

• On peut obtenir d'autres bases de \(F\) en résolvant le système \((1)\) par un autre choix des pivots (il faudrait d'ailleurs ici avoir l'esprit particulièrement tordu pour faire un autre choix de pivots que celui qui a conduit au système \((1)\).

• Enfin, il est recommandé de contrôler le résultat final en vérifiant que les coordonnées des vecteurs trouvés satisfont effectivement les équations données. C'est pas cher (le calcul est rapide) et ça peut rapporter gros (cela permet assez souvent de déceler une erreur de calcul) !