Exercice n°2

Partie

Question

Trouver une base d'un sous-espace défini par des équations.

Soit dans l'espace \(E = \mathrm{I\!R^5}\) , \((e_1, e_2, e_3, e_4)\) une base de \(E.\)

Trouver une base du sous-espace \(F\) défini par l'équation : \(2x_2 - 3x_4 = 0.\)

Aide simple

Nous avons ici une seule équation, et elle ne dépend pas de \(x_1\) , ni de \(x_3\) mais cela ne change rien à la méthode : nous considérons qu'il s'agit d'un système de une équation pour quatre inconnues, et nous le résolvons comme dans l'exercice précedent.

Solution détaillée

La résolution du système \(2x_2 - 3x_4 = 0 ~~(1)\) donne la triangulation (immédiate !)

\(\begin{array}{llll|ll} x_1&x_2&x_3&x_4&  \\ \hline 2&0&0&-3& 0 \end{array}.\)

et les solutions sous forme paramétrique en fonction de \(x_1, x_3, x_4\) :

\(\left\{ \begin{array}{lll} x_1 &=& x_1 \\ x_2 &=& \frac {3}{2}x_4\\x_3 &=&x_3 \\ x_4&=& x_4 \end{array}\right.~~~(2)\)

autrement dit

\((x_1, x_2, x_3, x_4) = x_1~(1, 0, 0, 0) + x_3~(0, 0, 1, 0) + x_4~(0, \frac {3}{2}, 0, 1). ~~~~(3)\)

et on peut conclure.

Conclusion

\(\{e_1, e_1, 3e_2 + 2e_4 \}\) est une base de \(F.\)

On notera que l'on a exprimé à l'aide de \(e_1, e_2, e_3, e_4\) les vecteurs trouvés par leurs coordonnées \((1, 0, 0, 0), ~(0, 0, 1, 0) ~~et ~~(0, \frac {3}{2}, 0, 1)\) dans la base donnée ; de plus on a multiplié le dernier par \(2\) pour écrire la réponse sans dénominateur, ce qui ne change rien bien sûr au fait que le résultat est une base de \(F\).