Exercice n°4 [Systèmes linéaires]

Exercice n°4

Partie

Question

Trouver des équations d'un sous-espace donné par un système de générateurs.

Dans $\mathrm{I\!R^4}$ , trouver des équations caractérisant les sous espaces :

$F = lin ~(1, 3, - 3, - 1), ~( - 1, - 1, 2, 4), ~(0, 2, - 1, 3)$
$G = lin~ (1, 2, 3, 4), ~(2, - 1, 0, 2),~(1, 1, 1, 3), ~( - 1, 2, 0, 1)$

Solution détaillée

Même méthode que dans l'exercice précédent. Cherchons à quelle condition un vecteur $V = (x, y, z, t)$ de $\mathrm{I\!R^4}$ appartient à $F$ et à $G$ , c'est-à-dire s'exprime comme combinaison linéaire des vecteurs donnés :

On trouve :

$F = {(x, y, z, t) \in \mathrm{I\!R^4}~~ |~~ 3x + y + 2z = 0 ~~et ~~10x + 3z + t = 0} ~~et~~ G =\mathrm{I\!R^4}$

Remarques

Pour $F$ , il n'y a pas bien sûr unicité de la réponse (elle dépend du choix des pivots), mais on doit trouver deux équations ; si le pivot a été fait de façon naturelle, dans chacune de ces équations figurent exactement trois des variables $x, y, z, t$ — il est facile d'en déduire une base de $F$ . Pour $G$ , le système que l'on écrit est toujours possible, autrement dit $G$ est décrit par zéro équation, ce qui s'exprime plus simplement par $G=\mathrm{I\!R^4}$ .