Exercice 2 :

Partie

Soit E l'ensemble des fonctions continues sur et à valeurs strictement positives. On pose :

\(\forall f\in EP(f)=(\displaystyle{\int_0^1f(t)dt)(\int_0^1\frac{1}{f(t)}dt)}\)

Question

1. Montrer que P(E) est minoré et déterminer sa borne inférieure.

Solution détaillée

1. Pour tout fonction \(f\) de \(E P (f) \leq 0\), donc \(P (E)\) est minoré par \(0\). De plus d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz on a :

\(\forall f\in E\displaystyle{\int_0^1\sqrt{f(t)}.\frac{1}{\sqrt{f(t)}}dt\leq\int_0^1f(t)dt\int_0^1\frac{1}{f(t)}dt\textrm{ d'où}\int_0^1f(t)dt\int_0^1\frac{1}{f(t)}dt\leq1}\)

. On en déduit que \(P(E)\) est minoré par \(1\) qui est borne inférieure et minimum puisque atteinte pour \(f = 1\).

Question

2. Montrer que P(E) n'est pas majoré

Solution détaillée

2 . On considère la fonction f : \( x\to x+a, (0< a<1)\)on a alors :

\(\displaystyle{\int_0^1(t+a)dt=\frac{1}{2}+a\textrm{ et }\int_0^1\frac{1}{t+a}dt=\ln(\frac{1+a}{a})=\ln(1+\frac{1}{a})}\) donc

\(\displaystyle{P(f)=(\frac{1}{2}+a)\ln(1+\frac{1}{a})}\)

 En prenant a arbitrairement petit on voit que P(E) n'est pas majoré.