Intégrale de Riemann

1. Il s'agit d'une intégrale dépendant d'un paramètre : quel que soit $x$ réel la fonction $t\to\cos(x\sin t)$ est continue sur $0,\frac{\pi}{2}$et donc intégrable, cette intégrale est fonction de $x$ . C'est cette fonction $F$ qu'on étudie ici. L'étude est une étude directe : on n'a pour l'instant aucun théorème permettant de conclure à la continuité ou la dérivabilité d'une telle fonction, ces théorèmes seront vus en 2ième année.

La formule de Taylor-Lagrange à l'ordre $2$ sur un intervalle $[0,u]$ pour la fonction cosinus conduit à l'égalité :

$\displaystyle{\cos u=1-\frac{u^2}{2}\cos(\theta_1u)\textrm{ avec }0<\theta_1<1\textrm{ d'où }\cos u\geq1-\frac{u^2}{2}}$,

de même, en l'appliquant à l'ordre $4$, on obtient :

$\displaystyle{\cos u=1-\frac{u^2}{2}+\frac{u^4}{24}\cos(\theta_2u)\textrm{ avec }0<\theta_2<1,\textrm{ d'où }\cos u\leq1-\frac{u^2}{2}+\frac{u^4}{24}}$

On pose $u=x\sin t$, on a alors, pour tout $x$ et tout $t$ réels :

$\displaystyle{1-\frac{x^2\sin^2t}{2}\leq\cos(x\sin t)\leq1-\frac{x^2\sin^2t}{2}+\frac{x^4\sin^4t}{24}}$,

d'où en intégrant sur $[0,\frac{\pi}{2}]$.

$\displaystyle{\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}dt-\frac{x^2}{2}\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\sin^2tdt\leq F(x)\leq\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}dt-\frac{x^2}{2}}\sin^2tdt+\frac{x^4}{24}\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\sin^4tdt$

On calcule les intégrales $\displaystyle{\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\sin^2tdt\textrm{ et }\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\sin^4tdt}$ en utilisant les formules :

$\displaystyle{\sin^2t=\frac{1-\cos2t}{2}\textrm{ et }\sin^4t=\frac{3-4\cos2t+\cos4t}{8}}$

 On obtient la formule demandée :

$\displaystyle{\frac{\pi}{2}(1-\frac{x^2}{4})\leq F(x)\leq\frac{\pi}{2}(1-\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{64})}$

2. Pour montrer la continuité de $F$ en un point $x_0$ de $\mathbf R$, on étudie $|F(x_0+h)-F(x_0)|$ en fonction de $|h|$ et on montre qu'elle tend vers $0$ quand $h$ tend vers $0$.

On a :

$F(x_0+h)-F(x_0)=\displaystyle{\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}(\cos((x_0+h)\sin t)-\cos(x_0\sin t))dt}$

 On considère alors, pour $t$ fixé la fonction $x\to\cos(x\sin t)$, le théorème des accroissements finis appliqué à cette fonction conduit à l'expression :

$\displaystyle{\cos((x_0+h)\sin t)-\cos(x_0\sin t)=-h\sin t\sin((x_0+\theta h)\sin t), (0<\theta<1)}$

d'où la majoration

$\displaystyle{|\cos((x_0+h)\sin t)-\cos(x_0\sin t)|\leq|h|}$

dont on déduit

$|F(x_0+h)-F(x_0)|\leq\displaystyle{\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}|h|dt=\frac{\pi}{2}|h|}$

inégalité qui assure la continuité.

3. Pour $\displaystyle{0\leq x\leq2}$ on a : $\displaystyle{1-\frac{x^2}{4}>0\textrm{ et }F(x)>0}$.

 Par ailleurs la double inégalité, vérifiée par $F(x)$, s'écrit :

$\displaystyle{\frac{\pi}{2}(1-\frac{x^2}{4})\leq F(x)\leq\frac{\pi}{2}(1-\frac{x^2}{8})^2}$

d'où $\displaystyle{F(2)\geq0\textrm{ et }F(2\sqrt{2})\leq0}$.

La fonction $F$ étant continue, le théorème des valeurs intermédiaires assure l'existence d'une d'un réel $\displaystyle{c\in[2,2\sqrt{2}]}$ tel que $F(c)=0$.

4. Comme dans la question $2$, on considère, pour$t$ fixé la fonction $x\to\cos(x\sin t)$, et on lui applique la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre $2$.On a :

$\displaystyle{\cos((x_0+h)\sin t)-\cos(x_0\sin t)=-h\sin t\sin(x_0\sin t)+\frac{h^2}{2}\sin^2t\cos((x_0+\theta h)\sin t)\quad(0<\theta<1)}$

d'où :

$|F(x_0+h)-F(x_0)-h\displaystyle{\int_0^{\pi/2}\sin(x\sin t)\sin tdt|\leq\frac{h^2}{2}\int_0^{\pi/2}dt=\frac{\pi}{4}h^2}$.

 Pour $h\neq 0$, on obtient :

$|\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}-\displaystyle{\int_0^{\pi/2}\sin(x\sin t)\sin tdt|\leq\frac{\pi}{4}h}$

 La fonction $F$ est donc dérivable et

$F'(x)=\displaystyle{\int_0^{\pi/2}\sin(x\sin t)\sin tdt}$

On remarque que la fonction qu'on intègre est la dérivée de la fonction $x\to\cos(x\sin t)$

; on a dérivé "sous le signe ".