Intégrale de Riemann

1. Il s'agit d'une intégrale dépendant d'un paramètre : quel que soit \(x\) réel la fonction \(t\to\cos(x\sin t)\) est continue sur \(0,\frac{\pi}{2}\)et donc intégrable, cette intégrale est fonction de \(x\) . C'est cette fonction \(F\) qu'on étudie ici. L'étude est une étude directe : on n'a pour l'instant aucun théorème permettant de conclure à la continuité ou la dérivabilité d'une telle fonction, ces théorèmes seront vus en 2ième année.

La formule de Taylor-Lagrange à l'ordre \(2\) sur un intervalle \([0,u]\) pour la fonction cosinus conduit à l'égalité :

\(\displaystyle{\cos u=1-\frac{u^2}{2}\cos(\theta_1u)\textrm{ avec }0<\theta_1<1\textrm{ d'où }\cos u\geq1-\frac{u^2}{2}}\),

de même, en l'appliquant à l'ordre \(4\), on obtient :

\(\displaystyle{\cos u=1-\frac{u^2}{2}+\frac{u^4}{24}\cos(\theta_2u)\textrm{ avec }0<\theta_2<1,\textrm{ d'où }\cos u\leq1-\frac{u^2}{2}+\frac{u^4}{24}}\)

On pose \(u=x\sin t\), on a alors, pour tout \(x\) et tout \(t\) réels :

\(\displaystyle{1-\frac{x^2\sin^2t}{2}\leq\cos(x\sin t)\leq1-\frac{x^2\sin^2t}{2}+\frac{x^4\sin^4t}{24}}\),

d'où en intégrant sur \([0,\frac{\pi}{2}]\).

\(\displaystyle{\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}dt-\frac{x^2}{2}\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\sin^2tdt\leq F(x)\leq\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}dt-\frac{x^2}{2}}\sin^2tdt+\frac{x^4}{24}\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\sin^4tdt\)

On calcule les intégrales \(\displaystyle{\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\sin^2tdt\textrm{ et }\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\sin^4tdt}\) en utilisant les formules :

\(\displaystyle{\sin^2t=\frac{1-\cos2t}{2}\textrm{ et }\sin^4t=\frac{3-4\cos2t+\cos4t}{8}}\)

 On obtient la formule demandée :

\(\displaystyle{\frac{\pi}{2}(1-\frac{x^2}{4})\leq F(x)\leq\frac{\pi}{2}(1-\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{64})}\)

2. Pour montrer la continuité de \(F\) en un point \(x_0\) de \(\mathbf R\), on étudie \(|F(x_0+h)-F(x_0)|\) en fonction de \(|h|\) et on montre qu'elle tend vers \(0\) quand \(h\) tend vers \(0\).

On a :

\(F(x_0+h)-F(x_0)=\displaystyle{\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}(\cos((x_0+h)\sin t)-\cos(x_0\sin t))dt}\)

 On considère alors, pour \(t\) fixé la fonction \(x\to\cos(x\sin t)\), le théorème des accroissements finis appliqué à cette fonction conduit à l'expression :

\(\displaystyle{\cos((x_0+h)\sin t)-\cos(x_0\sin t)=-h\sin t\sin((x_0+\theta h)\sin t), (0<\theta<1)}\)

d'où la majoration

\(\displaystyle{|\cos((x_0+h)\sin t)-\cos(x_0\sin t)|\leq|h|}\)

dont on déduit

\(|F(x_0+h)-F(x_0)|\leq\displaystyle{\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}|h|dt=\frac{\pi}{2}|h|}\)

inégalité qui assure la continuité.

3. Pour \(\displaystyle{0\leq x\leq2}\) on a : \(\displaystyle{1-\frac{x^2}{4}>0\textrm{ et }F(x)>0}\).

 Par ailleurs la double inégalité, vérifiée par \(F(x)\), s'écrit :

\(\displaystyle{\frac{\pi}{2}(1-\frac{x^2}{4})\leq F(x)\leq\frac{\pi}{2}(1-\frac{x^2}{8})^2}\)

d'où \(\displaystyle{F(2)\geq0\textrm{ et }F(2\sqrt{2})\leq0}\).

La fonction \(F\) étant continue, le théorème des valeurs intermédiaires assure l'existence d'une d'un réel \(\displaystyle{c\in[2,2\sqrt{2}]}\) tel que \(F(c)=0\).

4. Comme dans la question \(2\), on considère, pour\(t\) fixé la fonction \(x\to\cos(x\sin t)\), et on lui applique la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre \(2\).On a :

\(\displaystyle{\cos((x_0+h)\sin t)-\cos(x_0\sin t)=-h\sin t\sin(x_0\sin t)+\frac{h^2}{2}\sin^2t\cos((x_0+\theta h)\sin t)\quad(0<\theta<1)}\)

d'où :

\(|F(x_0+h)-F(x_0)-h\displaystyle{\int_0^{\pi/2}\sin(x\sin t)\sin tdt|\leq\frac{h^2}{2}\int_0^{\pi/2}dt=\frac{\pi}{4}h^2}\).

 Pour \(h\neq 0\), on obtient :

\(|\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}-\displaystyle{\int_0^{\pi/2}\sin(x\sin t)\sin tdt|\leq\frac{\pi}{4}h}\)

 La fonction \(F\) est donc dérivable et

\(F'(x)=\displaystyle{\int_0^{\pi/2}\sin(x\sin t)\sin tdt}\)

On remarque que la fonction qu'on intègre est la dérivée de la fonction \(x\to\cos(x\sin t)\)

; on a dérivé "sous le signe ".