Exercice 3 :
Partie
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \([a,b]\) telle que pour toute fonction \(g\) continue sur \([a,b]\) et vérifiant \(g(a)=g(b)=0\) on ait :
\(\displaystyle{\int_a^bf(t)g(t)dt=0}\)
Question
Montrer qu'on a \(f = 0\).
Aide simple
Coup de pouce :
On peut faire une démonstration par l'absurde : on suppose que la fonction \(f\) n'est pas nulle, elle est donc non nulle en un point et par conséquent au voisinage de ce point. On fabrique alors une fonction \(g\) continue et vérifiant \(g(a)=g(b)=0\) telle que \(\displaystyle{\int_a^bf(t)g(t)dt}\neq=0\).
Voici une vidéo explicative
Solution détaillée
La méthode consiste en une démonstration par l'absurde : on suppose que la fonction \(f\) n'est pas nulle, elle est donc non nulle en un point et par conséquent au voisinage de ce point. On fabrique alors une fonction \(g\) continue et vérifiant \(g(a)=g(b)=0\)telle que\(\displaystyle{\int_a^bf(t)g(t)dt\neq=0}\).
On suppose \(f\) non nulle : il existe un point \(c\) tel que \(f (c )\) est non nul, on peut supposer
\(f (c ) = d > 0\).
La fonction \(f\) étant continue il existe un réel \(\eta >0 \)tel que :
\(\displaystyle{0\leq|x-c|\leq\eta\Longrightarrow x\in]a,b[\textrm{ et }|f(x)-d|<\frac{d}{2}\textrm{ d'où}f(x)>\frac{d}{2}}\)
Soit \(\delta\) un réel vérifiant \(0 <\delta<\eta\) , on considère la fonction \(g\) définie de la façon suivante :
\(\displaystyle{\forall x\in[c,-\delta,c+\delta]\quad g(x)=1,\forall x\in[a,c-\eta]\cup[c+\eta,b]g(x)=0}\)
et \(g\) affine sur les intervalles \(\displaystyle{[c-\eta,c-\delta]\textrm{ et }[c+\delta,c+\eta]}\).
Alors \(\displaystyle{\int_a^b}\) et puisque les fonctions \(f\) et \(g\) sont positives sur \([c-\eta,c+\eta]\)
\(\displaystyle{\int_a^bf(t)g(t)dt=\int_{c-\eta}^{c+\eta}f(t)g(t)dt\geq\int_{c-\delta}^{c+\delta}f(t)g(t)dt\geq d\;\delta>0}\)
d'où la contradiction. Ainsi \(f\) est nulle en tout point de \(]a,b[\)et, par continuité, de \([a,b]\).