Exercice 1
Partie
On considère la fonction F définie par :
\(\displaystyle{\forall x\in[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]\quad F(x)=\int_0^x\sqrt{\cos2t}dt}\)
Question
1. Montrer, sans chercher à calculer l'intégrale, que \(F\) est impaire.
Solution détaillée
1. On pose \(u = -t\), on obtient \(F(x)=-\displaystyle{\int_0^{-x}\sqrt{\cos2u}du=-F(-x), \textrm{ d'où }F(-x)=-F(x)}\)
Question
2. Montrer que \(\displaystyle{\forall x\in[0,\frac{\pi}{4}]\;0\leq F(x)\leq x}\)
Solution détaillée
2. Pour tout \(x\in[0,\frac{\pi}{4}],F'(x)=\sqrt{\cos2x},\textrm{ d'où }0\leq F(x)\leq\displaystyle{\int_0^xdt=x}\)
Question
3. Montrer que \(F\) est dérivable sur \([-\frac{\pi}{4},+\frac{\pi}{4}]\)
Que valent \(F'(0)\) et \(F'(\frac{\pi}{4})\) ?
Solution détaillée
3. \(F\) est dérivable et \(F'(x)=\sqrt{\cos2x}\) (car la fonction \(x\to\sqrt{\cos2x}\) est continue).
\(F'(0)=1\) et \(F'(\frac{\pi}{4})=0\).
Question
4. En déduire un tracé sommaire du graphe de \(F\)
(on a \(F(\frac{\pi}{4})=0. \,599...\).)