Exercice 4
Partie
Soit f une fonction continue sur R et soit F la fonction définie par :
\(F(x)=\displaystyle{\int_{x-1}^{x+1}f(t)dt}\)
Question
1. Montrer que la fonction \(F\) est continue et dérivable sur \(\mathbf R\) et calculer sa dérivée.
Solution détaillée
1. On pose, pour tout \(x\) réel, \(\phi(x)=\displaystyle{\int_0^xf(t)dt}\)
, la fonction \(\Phi\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbf R\) et
\(\forall x\in\mathbf R\ ; ~\phi\,'(x)=f(x)\).
On déduit de l'égalité :\(\forall x\in\mathbf R\;F(x)=\phi(x+1)-\phi(x-1)\)
\(\displaystyle{F'(x)=f(x+1)-f(x-1)}\).
La fonction \(F\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbf R\).
Question
2. Déterminer toutes les fonctions \(f\) telles que \(F\) soit constante.
Solution détaillée
2. La condition \(\forall x\in\mathbf R\;F'(x)=0\) équivaut à : \(\forall x\in\mathbf Rf(x+1)-f(x-1)=0\), soit \(f\) est périodique de période \(2\).
Question
3. Déterminer \(F\) dans le cas où \(f(x)=|x|\).
Solution détaillée
3. On a \(\forall x\leq0\;\phi(x)=-\displaystyle{\int_0^xtdt=-\frac{x^2}{2},\quad\forall x\geq0\phi(x)=\int_0^xtdt=\frac{x^2}{2}}\)
, on en déduit :
- si \(x<-1,x-1< x+1<0\textrm{ et }F(x)=\frac{1}{2}(-(x+1)^2+(x-1)^2)=-2x\)
-si \(-1\leq x\leq1\textrm{ alors }x-1\leq0\textrm{ et }x+1\geq0\textrm{ d'où }F(x)=\frac{1}{2}((x+1)^2+(x-1)^2)=x^2+1\)
-si \(x>1, 0< x-1< x+1\textrm{ et }F(x)=\frac{1}{2}((x+1)^2-(x-1)^2)=2x\)
Question
4. Montrer que si \(f\) vérifie \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}f(x)=0}\), on a alors \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}F(x)=0}\).
Solution détaillée
4. D'après la formule de la moyenne il existe \(\exists c_x\;\in]x-1,x+1[\) tel que \(F(x)=2f(c_x)\). Quand \(x\) tend vers \(+\infty\) le nombre \(c_x\) tend également vers \(+\infty\) et \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}F(x)=0}\).