Intégrale de Riemann

1. On pose, pour tout \(x\) réel, \(\phi(x)=\displaystyle{\int_0^xf(t)dt}\)

, la fonction \(\Phi\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbf R\) et

\(\forall x\in\mathbf R\ ; ~\phi\,'(x)=f(x)\).

On déduit de l'égalité :\(\forall x\in\mathbf R\;F(x)=\phi(x+1)-\phi(x-1)\)

\(\displaystyle{F'(x)=f(x+1)-f(x-1)}\).

  La fonction \(F\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbf R\).

2. La condition \(\forall x\in\mathbf R\;F'(x)=0\) équivaut à : \(\forall x\in\mathbf Rf(x+1)-f(x-1)=0\), soit \(f\) est périodique de période \(2\).

3. On a \(\forall x\leq0\;\phi(x)=-\displaystyle{\int_0^xtdt=-\frac{x^2}{2},\quad\forall x\geq0\phi(x)=\int_0^xtdt=\frac{x^2}{2}}\)

, on en déduit :

- si \(x<-1,x-1< x+1<0\textrm{ et }F(x)=\frac{1}{2}(-(x+1)^2+(x-1)^2)=-2x\)

-si \(-1\leq x\leq1\textrm{ alors }x-1\leq0\textrm{ et }x+1\geq0\textrm{ d'où }F(x)=\frac{1}{2}((x+1)^2+(x-1)^2)=x^2+1\)

-si \(x>1, 0< x-1< x+1\textrm{ et }F(x)=\frac{1}{2}((x+1)^2-(x-1)^2)=2x\)

4. D'après la formule de la moyenne il existe \(\exists c_x\;\in]x-1,x+1[\) tel que \(F(x)=2f(c_x)\). Quand \(x\) tend vers \(+\infty\) le nombre \(c_x\) tend également vers \(+\infty\) et \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}F(x)=0}\).