Intégrale de Riemann

1. \(F(x)\) est définie si et seulement si l'intervalle \([x,x^2]\) est contenu dans \(\mathbf R_{+}^{*}\) et ne contient pas \(1\). On a donc \(D=]0,1[\cup]1,+\infty[\).

Pour \(x\in]0,1[\;\ln x<0\textrm{ et }x^2< x\textrm{ d'où }F(x)>0\),

pour \(x\in]1,+\infty[\ln x>0\textrm{ et }x< x^2\textrm{ d'où }F(x)>0\).

2. Pour tout \(x<1\), la fonction \(f :x\to\frac{1}{\ln x}\) est continue sur \([x^2,x]\) et pour tout \(x>1\) elle est continue sur \([x,x^2]\). \(F\) est donc définie sur \(D\)

et si l'on pose

\(\forall x\in D\;\phi(x)=\displaystyle{\int_a^x\frac{1}{\ln t}dt}\)

où \(a =1/2\) si \(x<1\) et \(a=2\) si \(x>1\), on a

\(F(x)=\phi(x^2)-\phi(x)\).

 La fonction \(\phi\) est dérivable sur chacun des intervalles \(]0,1[\) et \(]1,+\infty[\) et \(\phi'(x)=\frac{1}{\ln x}\), on en déduit

\(F'(x)=\frac{2x}{\ln(x^2)}-\frac{1}{\ln x}=\frac{x-1}{\ln x}\)

 On a donc sur \(D\), \(F'(x)>0\), et la fonction \(F\) est croissante sur chacun des intervalles \(]0,1[\textrm{ et }]1,+\infty[\)

.

3. Étude de \(F\) quand \(x\) tend vers \(0\)

On a, d'après le théorème de la moyenne, \(F(x)=\frac{x-x^2}{\ln\theta}\textrm{ avec }x^2<\theta< x,\textrm{ d'où }\displaystyle{\lim_{x\to0}F(x)=0}\)

 Étude de \(F\) quand \(x\) tend vers \(1\)

On pose \(t = 1+u\), l'expression de \(F (x)\) devient : \(F(x)=\displaystyle{\int_{x-1}^{x^2-1}\frac{du}{\ln(1+u)}}\)

 Quand \(u\) tend vers \(0\), on a, à partir du développement limité de la fonction \(\ln\;u\to\ln(1+u)\) au voisinage de \(0\) :

\(\frac{1}{\ln(1+u)}=\frac{1}{u}+\frac{1}{2}+\theta_1(u)\textrm{ avec }\displaystyle{\lim_{u\to0}\theta_1(u)=0}\)

On en déduit

\(F(x)=\displaystyle{\int_{x-1}^{x^2-1}\frac{du}{u}+\int_{x-1}^{x^2-1}(\frac{1}{2}+\epsilon_1(u))du=\ln(\frac{x^2-1}{x-1})+\epsilon_2(x)=\ln(x+1)+\epsilon_2(x)}\)

avec \(\displaystyle{\lim_{u\to0}\epsilon_1(u)=0\textrm{ et }\lim_{x\to1}\epsilon_2(x)=0}\)

 D'où

En prolongeant \(F\) par la valeur \(\ln2\) au point \(1\) la fonction ainsi obtenue est continue sur

\(]0,+\infty[\)

Étude de \(F\) quand\(x\) tend vers \(+\infty\) .

On a, d'après le théorème de la moyenne,

\(F(x)=\frac{x^2-x}{\ln\theta}\textrm{ avec }x<\theta< x^2\), d'où \(F(x)\to+\infty\textrm{ pour }x\to+\infty\)

 On peut préciser, à partir de l'inégalité précédente :

\(\frac{F(x)}{x}=\frac{x-1}{\ln\theta}\textrm{ avec }x<\theta< x^2, \textrm{ d'où }\frac{F(x)}{x}\to+\infty\textrm{ pour }x\to+\infty\),

, le graphe de \(F\) admet une branche parabolique dans la direction de l'axe \(0\)y.

On a alors les informations nécessaires pour construire le graphe. On peut préciser en déterminant la pente de la tangente au point d'abscisse1.On a :

\(\displaystyle{\forall x>0,x\neq1F'(x)\frac{x-1}{\ln x}\textrm{ d'où }\lim_{x\to1}F'(x)=1}\)

la tangente au point d'abscisse \(1\) a pour pente \(1\).