Intégrale de Riemann

1. $F(x)$ est définie si et seulement si l'intervalle $[x,x^2]$ est contenu dans $\mathbf R_{+}^{*}$ et ne contient pas $1$. On a donc $D=]0,1[\cup]1,+\infty[$.

Pour $x\in]0,1[\;\ln x<0\textrm{ et }x^2< x\textrm{ d'où }F(x)>0$,

pour $x\in]1,+\infty[\ln x>0\textrm{ et }x< x^2\textrm{ d'où }F(x)>0$.

2. Pour tout $x<1$, la fonction $f :x\to\frac{1}{\ln x}$ est continue sur $[x^2,x]$ et pour tout $x>1$ elle est continue sur $[x,x^2]$. $F$ est donc définie sur $D$

et si l'on pose

$\forall x\in D\;\phi(x)=\displaystyle{\int_a^x\frac{1}{\ln t}dt}$

où $a =1/2$ si $x<1$ et $a=2$ si $x>1$, on a

$F(x)=\phi(x^2)-\phi(x)$.

 La fonction $\phi$ est dérivable sur chacun des intervalles $]0,1[$ et $]1,+\infty[$ et $\phi'(x)=\frac{1}{\ln x}$, on en déduit

$F'(x)=\frac{2x}{\ln(x^2)}-\frac{1}{\ln x}=\frac{x-1}{\ln x}$

 On a donc sur $D$, $F'(x)>0$, et la fonction $F$ est croissante sur chacun des intervalles $]0,1[\textrm{ et }]1,+\infty[$

.

3. Étude de $F$ quand $x$ tend vers $0$

On a, d'après le théorème de la moyenne, $F(x)=\frac{x-x^2}{\ln\theta}\textrm{ avec }x^2<\theta< x,\textrm{ d'où }\displaystyle{\lim_{x\to0}F(x)=0}$

 Étude de $F$ quand $x$ tend vers $1$

On pose $t = 1+u$, l'expression de $F (x)$ devient : $F(x)=\displaystyle{\int_{x-1}^{x^2-1}\frac{du}{\ln(1+u)}}$

 Quand $u$ tend vers $0$, on a, à partir du développement limité de la fonction $\ln\;u\to\ln(1+u)$ au voisinage de $0$ :

$\frac{1}{\ln(1+u)}=\frac{1}{u}+\frac{1}{2}+\theta_1(u)\textrm{ avec }\displaystyle{\lim_{u\to0}\theta_1(u)=0}$

On en déduit

$F(x)=\displaystyle{\int_{x-1}^{x^2-1}\frac{du}{u}+\int_{x-1}^{x^2-1}(\frac{1}{2}+\epsilon_1(u))du=\ln(\frac{x^2-1}{x-1})+\epsilon_2(x)=\ln(x+1)+\epsilon_2(x)}$

avec $\displaystyle{\lim_{u\to0}\epsilon_1(u)=0\textrm{ et }\lim_{x\to1}\epsilon_2(x)=0}$

 D'où

En prolongeant $F$ par la valeur $\ln2$ au point $1$ la fonction ainsi obtenue est continue sur

$]0,+\infty[$

Étude de $F$ quand$x$ tend vers $+\infty$ .

On a, d'après le théorème de la moyenne,

$F(x)=\frac{x^2-x}{\ln\theta}\textrm{ avec }x<\theta< x^2$, d'où $F(x)\to+\infty\textrm{ pour }x\to+\infty$

 On peut préciser, à partir de l'inégalité précédente :

$\frac{F(x)}{x}=\frac{x-1}{\ln\theta}\textrm{ avec }x<\theta< x^2, \textrm{ d'où }\frac{F(x)}{x}\to+\infty\textrm{ pour }x\to+\infty$,

, le graphe de $F$ admet une branche parabolique dans la direction de l'axe $0$y.

On a alors les informations nécessaires pour construire le graphe. On peut préciser en déterminant la pente de la tangente au point d'abscisse1.On a :

$\displaystyle{\forall x>0,x\neq1F'(x)\frac{x-1}{\ln x}\textrm{ d'où }\lim_{x\to1}F'(x)=1}$

la tangente au point d'abscisse $1$ a pour pente $1$.