1ère partie
Partie
1) Soit \(k\) et \(N\) deux entiers positifs non nuls.
Question
a) Pour \(|x|<1\), simplifier l'expression \(\sum_{i=0}^{N}x^{k-1+8i}-\frac{x^{k-1}}{1-x^8}\)
Aide simple
1)
a) Sommer la série géométrique.
Solution détaillée
1)
a) Pour \(|x|<1\) (\(|x|\) différent de \(1\) suffit) on a
\(\sum_{i=0}^{N}x^{k-1+8i}=x^{k-1}\sum_{i=0}^{N}x^{8i}=x^{k-1}\frac{1-x^{8(N+1)}}{1-x^8}\)
puis
\(\sum_{i=0}^{N}x^{k-1+8i}-\frac{x^{k-1}}{1-x^8}=x^{k-1}.\frac{1-x^{8(N+1)}}{1-x^8}-\frac{x^{k-1}}{1-x^8}=x^{k-1}.\frac{(1-x^{8(N+1)})-1}{1-x^8}=-\frac{x^{k-1+8(N+1)}}{1-x^8}\)
soit
\(\sum_{i=0}^{N}x^{k-1+8i}-\frac{x^{k-1}}{1-x^8}=-\frac{x^{k-1+8(N+1)}}{1-x^8}\)
Question
b) En déduire l'égalité \(\displaystyle{\int_{0}^{1/\sqrt{2}}\frac{x^{k-1}}{1-x^8}dx=}\lim_{N\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{2}^k}\sum_{i=0}^{N}\frac{1}{16^i(8i+k)}\)
Aide simple
1)
b) Intégrer les deux membres de l'égalité précédemment trouvée et passer à la limite quand N tend vers plus l'infini.
Solution détaillée
1)
b) Intégrant entre \(0\) et \(a=\frac{1}{\sqrt{2}}=2^{(-1/2)}\) , on a grâce à la linéarité de l'intégrale
\(\displaystyle{\int_0^a}\sum_{i=0}^{N}x^{k-1+8i}dx-\displaystyle{\int_0^a\frac{x^{k-1}}{1-x^8}dx=-\int_0^a\frac{x^{k-1+8(N+1)}}{1-x^8}dx}\)
On peut permuter les signes intégrale et somme
\(\sum_{i=0}^{N}\displaystyle{\int_0^ax^{k-1+8i}dx-\int_0^a\frac{x^{k-1}}{1-x^8}dx=-\int_0^a\frac{x^{k-1+8(N+1)}}{1-x^8}dx=R(N)}\)
La somme du membre de gauche vaut
\(\sum_{i=0}^{N}\frac{1}{k+8i}a^{k+8i}-\displaystyle{\int_0^a\frac{x^{k-1}}{1-x^8}dx}\)
Grâce à la majoration
\(|R(N)|=\displaystyle{|\int_0^a\frac{x^{k-1+8(N+1)}}{1-x^8}dx|\leq a\frac{a^{k-1+8(N+1)}}{1-a^8}}\)
on voit que, puisque que \(0< a<1\), le second membre tend vers \(0\) quand \(N\) tend vers plus l'infini et remplaçant \(a\) par sa valeur on obtient
\(\displaystyle{\int_0^{1/\sqrt{2}}\frac{x^{k-1}}{1-x^8}dx}=\lim_{N\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{2}^k}\sum_{i=0}^{N}\frac{1}{16^i(8i+k)}\)