Intégrale de Riemann

2) a) On a

\(\displaystyle{x^8-1=(x^4-1)(x^4+1)=(x^2-1)(x^2+1)(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)}\)

Faisons le changement de variable bijectif

\(\displaystyle{u=\sqrt{2}x\;\iff\;x=\frac{u}{\sqrt{2}}}\)

On obtient

\(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}{x^8-1} & = & (\frac{u^2}{2}-1)(\frac{u^2}{2}+1)(\frac{u^2}{2}+u+1)(\frac{u^2}{2}-u+1) \\ & = & \frac{1}{16}(u^2-1)(u^2+1)(u^2+u+1)(u^2-u+1)\end{array}}\)

et

\(\displaystyle{(4\sqrt{2}-8x^3-4\sqrt{2}x^4-8x^5)dx=(4-\frac{8}{\sqrt{2}}\frac{u^3}{2\sqrt{2}}-4\frac{u^4}{4}-\frac{8}{\sqrt{2}}\frac{u^5}{\sqrt{2}})du}\)

\(\displaystyle{\int_0^{1/\sqrt{2}}\frac{4\sqrt{2}-8x^3-4\sqrt{2}x^4-8x^5}{1-x^8}dx=-16\int_0^1\frac{4-2u^3-u^4-u^5}{(u^2+2)(u^2-2)(u^2-2u+2)(u^2+2u+2)}du}\)

Pour arriver à l'égalité demandée deux démarches sont possibles

• (cf le module sur les polynômes) on calcule le pgcd du numérateur et du dénominateur et on fait la division euclidienne.

• (puisque le résultat est annoncé dans l'énoncé) on vérifie en effectuant le produit que

  \(\displaystyle{-4+2u^3+u^4+u^5=(u-1)(u^2+2)(u^2-2u+2)}\).

2) b) Pour calculer l'intégrale on décompose la fraction rationnelle, on sait (cf le module sur les polynômes et fractions rationnelles) qu'il existe \(4\) réels \(p,q,r,s\) tels que

\(\displaystyle{\frac{u-1}{(u^2-2)(u^2-2u-2)}=\frac{p}{u-\sqrt{2}}+\frac{q}{u+\sqrt{2}}+\frac{ru+s}{u^2-2u+2}}\)

p s'obtient en multipliant le premier membre par \(u-\sqrt{2}\) et en prenant la valeur en \(\sqrt{2}\)

\(\displaystyle{p=\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}(2-2\sqrt{2}+2)}=\frac{\sqrt{2}-1}{4\sqrt{2}(2-\sqrt{2})}=\frac{1}{8}}\)

Par un calcul analogue ou en changeant \(\sqrt{2}\) en \(-\sqrt{2}\), on obtient que

\(q=\frac{1}{8}\)

Prenant la limite à l'infini des deux membres multipliés par \(u\) on a \(p + q + r = 0\), d'où

\(r=-\frac{2}{8}\)

Finalement prenant la valeur en \(0\) on obtient

\(\displaystyle{\frac{16(u-1)}{(u^2-2)(u^2-2u-2)}=2(\frac{1}{u-\sqrt{2}}+\frac{1}{u+\sqrt{2}}-\frac{2u-4}{u^2-2u+2})}\)

et On intègre chacun des termes

\(\displaystyle{\int_0^1\frac{du}{u-\sqrt{2}}=\ln|\frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}|}\)

\(\displaystyle{\int_0^1\frac{du}{u+\sqrt{2}}=\ln|\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}|}\)

donc la somme vaut \(\ln(\frac{1}{2})\)

  Pour calculer

\(I=\displaystyle{\int_0^1\frac{2u-4}{u^2-2u+2}du}\)

on écrit \(2u – 4 = 2u – 2 – 2\) d'où

\(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}I & = & \int_0^1\frac{2u-2}{u^2-2u+2}du-2\int_0^1\frac{du}{(u-1)^2+1}\\& = & \ln\frac{1}{2}-2[\arctan(u-1)]_0^1\\ & = & \ln\frac{1}{2}-2(-\arctan(-1))\\& = & \ln\frac{1}{2}-\frac{\pi}{4}\end{array}}\)

et finalement

\(\displaystyle{\int_0^1\frac{16u-16}{(u^2-2)(u^2-2u-2)}du=2(\ln\frac{1}{2}-\ln\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2})=\pi}\)