Conclusion
Partie
Question
En deduire \(\displaystyle{\lim_{N\to+\infty}\sum_{i=0}^{N}\frac{1}{16^i}(\frac{4}{(8i+1)}-\frac{2}{(8i+4)}-\frac{1}{(8i+5)}-\frac{1}{(8i+6)})=\pi}\)
Aide simple
3)
Combiner 1) et 2).
Solution détaillée
3) On applique la formule \((*)\) pour
\(k=1\textrm{ coefficient }4\sqrt{2}\)
\(k=4\textrm{ coefficient }8\)
\(k=5\textrm{ coefficient }-4\sqrt{2}\)
\(k=1\textrm{ coefficient }-8\)
et en ajoutant on obtient
\(\displaystyle{\lim_{N\to\infty}\sum_{i=0}^{N}\frac{1}{16^i}(\frac{4}{(8i+1)}-\frac{2}{(8i+4)}\frac{1}{(8i+5)}-\frac{1}{(8i+6)})=\displaystyle{\int_0^{1/\sqrt{2}}\frac{4\sqrt{2}-8x^3-4\sqrt{2}x^4-8x^5}{1-x^8}dx=\pi}}\)
d'après la deuxième question.
Attention : dans le calcul précédent on a permuté la limite et la combinaison linéaire, c'est à dire qu'on a fait des regroupements de termes dans la série. C'est licite si l'on connaît la théorie des séries numériques. Sinon il faut refaire un calcul analogue à celui du \(1)b)\) en montrant que la différence de l'intégrale de la somme des termes d'indice au plus \(N\) tend vers \(0\), la majoration de cette différence est analogue.