Première méthode : méthode des rectangles ou méthode à un point
Ces techniques s'appellent également formules de quadrature.
Ces premières méthodes sont très naturelles puisqu'elles sont basées sur les formules qui permettent de construire l'intégrale (de Riemann) : les sommes de Darboux ou de Riemann. On utilise souvent un vocabulaire spécifique pour ces méthodes. Soit \(f\) la fonction à intégrer sur un intervalle \([a, b]\) . Nous découpons cet intervalle en \(N\) sous-intervalles (égaux pour simplifier) ayant pour extrémités
\(\displaystyle{x_0=a,x_1=a+h,x_2=a+2h,...,x_{N-1}=a+(N-1)h,x_N=a+Nh}\)
où\(\displaystyle{h=\frac{b-a}{N}}\) est appelé le pas (de la subdivision). On approche l'intégrale, c'est à dire l'aire sous le graphe de \(f\) par la somme des aires des \(N\)rectangles de base\(\displaystyle{[x_i,x_{i+1}]}\) et de hauteur \(f(x_i)\) pour \(i\) variant de \(0\) à \(N-1\).
Remarque :
dans tout ce chapitre, on désignera abusivement par aire sous le graphe de f, l'aire algébrique limitée par le graphe de \(f\) , l'axe \(Ox\) et les deux droites verticales d'équations\(x = a\) et \(x=b\).
On appelle cette formule :
\(\displaystyle{\sum_{i=0}^{N-1}f(x_i)h}\)
formule du "point gauche" On commet une erreur, sur chacun des intervalles puisque qu'on prend le point à l'extrémité gauche au lieu de suivre la courbe. Cette erreur sera d'autant plus petite que l'intervalle ou le pas de la subdivision sera petit, c'est ce que nous allons chercher à estimer maintenant grâce à l'application suivante :
Complément : A propos de la démo
La démo est une applette(1) interactive vous permettant de mieux assimiler certains principes mathématiques exposés dans le cours.
Cette applette vous offre deux fonctionnalités. Elle vous permet dans un premier temps de visualiser un graphique correspondant au contexte d'appel. Pour modifier la fonction utilisée, il vous suffit, dans le champ réservé à cet effet, de modifier l'expression(2) et de cliquer sur le bouton VALIDER.
Dans un second temps, cette application permet de simuler des méthodes d'approximations telles que la méthode des trapèzes, ou bien celle du point gauche. Dans chacun des cas, il est possible de changer les paramètres de la méthode en modifiant le nombre de pas (ou de jets) et les bornes sur lesquelles on désire appliquer la méthode. Ces modifications sont à réaliser dans les champs situés à droite du graphique, et il faut ensuite cliquer sur le bouton GO pour relancer la méthode.
Lorsque vous cliquez sur le bouton qui permet le lancement de l'applette, celle-ci envoie la démo avec des paramètres par défauts. Ceux-ci sont choisis dans l'optique de vous présenter un exemple le plus représentatif possible et permettant une bonne observation. Néanmoins, nous vous invitons à modifier ces paramètres par vous même, afin de mieux comprendre encores les principes simulés par cette applette.
(1) : Une applette est un programme (souvent en Java) directement exécutable depuis un navigateur web, tel que Internet Explorer ou bien encore Netscape Navigator. La terminologie officielle française est appliquette, les québécois utilisent applet (au masculin).
(2) : Pour modifier l'expression de la fonction, certaines conventions sont à respecter. Ainsi, la saisie doit être exécutée en minuscules. La variable de la fonction doit être\(x\), les différents opérateurs trigonométriques disponibles sont \(\cos(x)\), \(\sin(x)\),\(\), \(a\sin(x)\), \(\tan(x)\),\(atan(x)\), et la constante "pi" est disponible. Par exemple, on peut donc écrire : \(\cos(2*\pi*x)\). Il est à noter que le signe \(*\) de multiplication ne peut pas être remplacé par un espace.
D'une part, on sait en utilisant la formule de Chasles que
\(\displaystyle{I=\int_a^bf(t)dt=\displaystyle{\sum_{i=0}^{N-1}\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(t)dt}}\)
En utilisant la formule de la moyenne, pour la fonction \(f\) sur l'intervalle \([x_i,x_{i+1}]\), on sait qu'il existe un point
\(\displaystyle{c_i\in[x_i,x_{i+1}]}\) tel que
\(\displaystyle{\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(t)dt=f(c_i)h}\)
On utilise alors la formule des accroissements finis, en supposant que la fonction \(f\) est dérivable et que sa dérivée est bornée sur\( [a,b]\)
\(\displaystyle{\exists M_1>0,\forall t\in[a,b],|f'(t)|\leq M_1}\)
qui nous assure l'existence d'un point \(\displaystyle{z_{i}\in[x_i,c_i]}\)
\(\displaystyle{f(c_i) = f(x_i) + (c_i - x_i) f'(z_i)}\)
D'où nous tirons
\(\displaystyle{|f(c_i)-f(x_i)|\leq M_1h}\)
Nous sommes maintenant en mesure de "recoller les morceaux" et d'obtenir une estimation d'erreur. On note `E_1` la différence entre les valeurs exacte et approchée de l'intégrale, \(E_1=I-\displaystyle{\sum_{i=0}^{N-1}f(x_i)h}\). On a alors
\(|E_1|\leq\displaystyle{\sum_{i=0}^{N-1}\int_{x_i}^{x_{i+1}}|f(t)-f(x_i)|dt\leq NM_1h^2=(b-a)M_1h=\frac{(b-a)^2M_1}{N}}\)
Cette estimation montre que, pour un intervalle et une fonction fixés (\(M_1\) et \((b-a)\)sont alors constants), l'erreur est proportionnelle à \(1/N\) Si on prend 10 fois plus de points, on divise l'erreur par 10. Notons que la seule hypothèse sur \(f\) est qu'elle soit dérivable sur \([a,b]\) à dérivée bornée
On obtient une formule d'intégration ou de quadrature ayant les même propriétés en considérant le "point droit" et donc en approchant l'intégrale par la formule
\(I\approx\displaystyle{\sum_{i=0}^{N-1}f(x_{i+1})h}\)
Nous allons voir qu'on améliore généralement les choses en considérant le "point milieu" : on approche l'aire sous le graphe pour par l'aire du rectangle de même base et de hauteur \(f((x_i+x_{i+1})/2)\). Nous allons maintenant à nouveau découper l'intégrale en \(N\) intervalles égaux et utiliser la formule de Taylor, centrée en \(x'_i = (x_i+x_{i+1})/2\) et à l'ordre 2, en supposant la fonction \(f\) deux fois continument dérivable. Alors pour tout , il existe tel que
\(\displaystyle{f(x) = f(x'_i) + (x-x'_i) f'(x'_i) + (x-x'_i)^2 f''(c_i)}\)
et en intégrant sur l'intervalle \(\displaystyle{[x_i,x_{i+1}]}\), on obtient
\(|\int_{x_i}^{x_{i+1}}(f(t)-f(x'_i))dt|\leq|f'(x'_i)\int_{x_i}^{x_{i+1}}(t-x'_i)dt|+|\frac{M_2}{2}\int_{x_i}^{x_{i+1}}(t-x'_i)^2dt|\)
où \(M_2\) est un majorant de \(f''\) sur \([a,b]\). En faisant le changement de variable \(u=t-x'_i\), on obtient pour le premier terme du membre de droite
\(\displaystyle{\int_{x_i}^{x_{i+1}}(t-x'_i)dt=\int_{-h/2}^{h/2}udu=0}\)
et pour le second
\(\displaystyle{\int_{x_i}^{x_{i+1}}(t-x'_i)^2dt=\int_{-h/2}^{h/2}t^2dt=h^3/{12}}\)
On est donc à nouveau en mesure de "recoller les morceaux" :
\(|E_2|\leq\displaystyle{\sum_{i=0}^{N-1}\int_{x_i}^{x_{i+1}}(f(t)-f(x'_i))dt|\leq NM_2h^3/{24}=(b-a)M_2h^2/{24}=\frac{(b-a)^3M_2}{24N^2}}\)
On voit donc que cette fois, l'erreur est proportionnelle (pour une fonction et un intervalle donnés) au carré de \(h\). On dit qu'une telle méthode est d'ordre 2.