Application : un équivalent de n!

But : trouver un équivalent de \(n!\) quand \(n\) tend vers l'infini.

Démarche suivie

  • travailler avec le logarithme (ce qui transforme le produit en somme),

  • introduire une intégrale et la calculer (formellement),

  • calculer numériquement cette intégrale par la méthode des trapèzes,

  • majorer l'erreur grâce au calcul d'une autre intégrale,

  • conclure en utilisant la formule de Wallis.

Démonstration

Prenons le logarithme de \(n!\) : \(\ln\;n! = \ln(1.2.3...n) = \ln\;1 + \ln \;2+ ... + \ln\;n\)

1. Considérons l'intégrale \(I_n = \int_1^n \ln\; t dt\)

Une intégration par parties montre que

\(\displaystyle{I_n = [t \ln\; t]_1^n - \int_1 ^n\textrm{l }dt = n\ln\; n - n+1}\)

2. Le calcul de cette intégrale par la méthode des trapèzes avec un pas de 1 donne

\(\displaystyle{I_n = \frac{1}{2} \ln\; 1 + \ln \;2+ \ln\; 3+...+\ln(n-1) + \frac{1}{2}\ln\; n + E_n = \ln\;(n!) -\frac{1}{2}\ln\;n + E_n}\)

\(E_n\) note l'erreur dans la méthode des trapèzes.

On en déduit que

\(\displaystyle{ln(n) = n \ln\;n-n+1 +\frac{1}{2} \ln\;n - E_n}\)

3. Comme la fonction logarithme est concave, sur chaque intervalle l'erreur dans les méthodes des trapèzes est positive et \(E_n\) est une fonction croissante de \(n\).

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Le cours donne une majoration de cette erreur. Sur \([i,i+1]\), l'erreur est majorée par

\(\displaystyle{\frac{1}{12}\textrm{sup } _{x\in [i, i+1]}|\frac{-1}{x^2}| = \frac{1}{12}\frac{1}{i^2}}\)On en déduit que

\(\displaystyle{E_n\leq \frac{1}{12}\sum_1^{n-1}\frac{1}{i^2}}\)

Comme la fonction \(\displaystyle{x\to\frac{1}{x^2}}\) est décroissante, cette somme est majorée par

\(\displaystyle{1 + \int_2^n \frac{dt}{(t-1)^2} = 2-\frac{1}{(n-1)}\leq2}\)

On en déduit que la suite croissante \((E_n)\) est majorée, elle est donc convergente, notons \(c\) sa limite et posons \(C=1-c\) puis \(K=\textrm{e}^C\).

4. On a donc \(\ln(n !)=n\ln\;n-n+\frac{1}{2}\ln\;n+C+\epsilon(n)\)\(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}\epsilon(n)}=0\)

en prenant l'exponentielle \(n!=n^n\textrm{e}^{-n}\sqrt{n}K(1+\epsilon(n))\)\(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}\epsilon(n)}=0\)

Soit \(n!\sim n^ne^{-n}\sqrt nK\) quand \(n\rightarrow +\infty\)

Pour déterminer \(K\), utilisons la formule de Wallis (déjà vue)

\(\pi=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}p\left(\frac{(2^pp!)^2}{(2p)!}\right)^2}\)

et reportons, on obtient : \(\pi\sim\frac{2^{4p}p^{4p}e^{-4p}(\sqrt p)^4 K^4} {p(2p)^{4p}e^{-4p}(\sqrt{2p})^2K^2}\)

d'où l'on déduit \(K=\sqrt{2\pi}\) et \(n!\sim n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}\) quand \(n\rightarrow +\infty\)