Approximations numériques

connaissant la vitesse (instantanée) d'une voiture à des instants \(t_i((t_i)_{i=0...N}\) formant une suite strictement croissante avec \(t_0 = 0\) et \(t_N = T )\), calculer la distance totale parcourue.

La première réponse que l'on peut donner est qu'on ne peut pas calculer exactement cette distance, ne connaissant pas la vitesse instantanée à tout instant. Si on suppose que la vitesse moyenne entre deux instants est égale à la moyenne des vitesses instantanées de ces instants, la distance parcourue entre les instants \(t_i\) et \(t_{i+1}\) est

La distance totale parcourue est alors donnée par \(\displaystyle{L=\displaystyle{\sum_{i=0}^{N-1}\Delta x_i}}\) ce qui correspond à la formule des trapèzes pour l'intégrale de la fonction\(v(t) \)- que l'on ne connait en réalité qu'en les instants \(t_i\)-

On peut ensuite se demander quelle "confiance" accorder à cette approximation ou encore essayer d'estimer l'erreur maximale à laquelle elle peut conduire. Comme on l'a vu, cela dépend de la régularité de la fonction. Dans le cas présent, la dérivée (par rapport au temps) de la vitesse est égale à l'accélération de la voiture. Si on suppose que l'accélération est continue et bornée : on peut estimer une borne sachant qu'il faut souvent plus de 10 secondes pour passer de 0 à 100 \(\textrm{Km/heure}\) et 1 seconde au moins pour passer de 100 à 0; ce qui en \(\textrm{m/s}^2\) donne

La prochaine fois que vous prenez l'autoroute, n'hésitez pasà tester cette formule en notant à chaque minute la vitesse de la voiture (si vous n'en êtes pas le conducteur !) et comparer le résultat à celui donné par le compteur qu'on pourra considérer comme exact puisqu'il est directement lié au nombre de tours de roues.

connaissant la vitesse (instantanée) d'une voiture à des endroits donnés \(x_j\)( \((x_j)_{j=0...N}\) formant une suite strictement croissante avec \(x_0 = 0\) et \(x_N = L\)), calculer le temps de trajet.

Il s'agit d'un problème analogue au précédent, mais cette fois les mesures de vitesse sont faites à des endroits fixés et on cherche à estimer le temps nécessaire pour parcourir le trajet. Lorsque vous voyez des panneaux indicateurs annoncant un temps estimé pour atteindre une sortie prochaine, ces informations sont obtenues à partir de ce type de données (mesure des vitesses instantanées à l'aide de boucle magnétique placée à intervalles réguliers sur la route).

Le temps nécessaire pour aller du point \(x_j\) au point \(x_{j+1}\) , en supposant à nouveau que la vitesse moyenne est égale à la moyenne des vitesses est donné par

Le temps de trajet est alors \(\displaystyle{T=\displaystyle{\sum_{j=0}^{N-1}\Delta t_j}}\). On retrouve à nouveau la formule des trapèzes mais pour l'intégrale de la fonction \(1/{v(x)}\) :

On voit immédiatement qu'il y a une difficulté supplémentaire avec cette formule lorsque la vitesse s'annule en certains points (ce qui malheureusement arrive parfois dans les embouteillages) : la fonction peut-être singulière. Si on fait une petite erreur sur une vitesse très faible, cela induit une erreur importante dans l'estimation du temps. Il faut donc reprendre plus finement la modélisation pour pouvoir prendre en compte ce type de situation : supposer par exemple, sur la base d'observations, que la vitesse moyenne ne peut être inférieure à une certaine valeur, de sorte que même si la voiture passe avec une vitesse très faible aux points de mesures, la vitesse prise en compte dans le calcul sera cette vitesse minimale et qu'on n'aura pas de divergence. Cependant ce type d'astuce complique singuliérement l'estimation des erreurs.

Si l'horloge de votre voiture est en panne, cette formule vous permet (en relevant par exemple la vitesse à chaque borne kilomètrique) d'estimer le temps écoulé depuis le début des mesures. Rappelons pour finir que si la vitesse est constante, la formule est exacte mais qu'il est alors inutile de faire la somme !