Faux et vrais problèmes de convergence
Cas où l'intervalle est borné mais non fermé
Dans le cas où l'intervalle \(\mathcal I\) de définition est borné, mais non fermé, c'est-à-dire d'un des types \([a,b[,]a,b],]a,b[,(a\in\mathbf R,b\in\mathbf R,a< b)\) il convient d'éliminer les « faux problèmes ».
Exemple :
Etude de\( \displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{\sin t}{t}}dt\)
Considérons la fonction \(\displaystyle{x\mapsto\frac{\sin x}{x}}\), définie sur l'intervalle \(]0,1]\).
L'intégrale \(\displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{\sin t}{t}}dt\) existe car la fonction \(\displaystyle{x\mapsto\frac{\sin x}{x}}\), prolongée en \(0\) par \(1\), est une fonction continue sur \([0,1]\) et l'intégrale \(\displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{\sin t}{t}}dt\) n'est pas une intégrale impropre.
Plus généralement, si une fonction, localement intégrable sur un intervalle I borné, est bornée sur I, on peut la prolonger sur tout l'intervalle en lui donnant n'importe quelle valeur aux bornes. Ainsi le symbole \(\displaystyle{\int_{0}^{1}\sin\left(\frac{1}{t}\right)}\) a-t-il un sens (voir module intégration).
Donc, dans le cas où l'intervalle d'intégration est borné et non fermé, on considérera seulement le cas où la fonction est non bornée.
Cas d'intervalles ouverts
On va etudier le cas d'intervalles ouverts de la forme \(]a,b[, ]-\infty,b[, ]a, \infty[, ]-\infty,\infty[\)
Remarquez que les problèmes aux deux bornes sont indépendants. On fractionnera alors l'intervalle d'intégration en deux intervalles. Par exemple, dans le cas d'un intervalle \(]a,b[\), on considérera un point \(c\) vérifiant \(a< c< b\), les intervalles \(]a,c]\) et \([c,b[\) et les intégrales\( \displaystyle{\int_{a}^{c}f(t)dt}\) et \(\displaystyle{\int_{c}^{b}f(t)dt}\).
Finalement notre étude se limitera à celle de l'intégration
soit de fonctions non bornées sur un intervalle borné : \([a,b[,(a\in\mathbf R,b\in\mathbf R,a< b)\)
soit de fonctions définies sur un intervalle non borné : \([a,+\infty[,(a\in\mathbf R)\).
Tous les autres cas se ramènent à ceux-ci. Nous énoncerons les théorèmes généraux, pour un intervalle d'intégration, que nous désignerons par le symbole \([a,\omega[\), avec \(\omega\in\mathbf R\) ou \(\omega=+\infty\).
Conseil :
On vérifiera toujours que la fonction est localement intégrable sur l'intervalle d'intégration.
Dans le cas contraire (s'il y a un problème à l'intérieur de l'intervalle), il faudra se demander si les difficultés peuvent être résolues par un prolongement de la fonction ou par un fractionnement de l'intervalle.