Intégrale impropre sur un intervalle ouvert
On considère une fonction\( f\) localement intégrable sur un intervalle ouvert \(]\omega_1,\omega_2[\) avec \(\omega_1\in\mathbb R\) ou \(\omega_1=-\infty\) , et : \(\omega_2\in\mathbb R\) ou \(\omega_2=+\infty\) .
Définition :
Soit \(c\) un point quelconque de l'intervalle \(]\omega_1,\omega_2[\). On dit que l'intégrale \(\displaystyle{\int_{\omega_1}^{\omega_2}f(t)dt}\) est convergente (ou existe) si chacune des intégrales \(\displaystyle{\int_{\omega_1}^{c}f(t)dt}\) et\( \displaystyle{\int_{c}^{\omega_2}f(t)dt}\) est convergente.
On pose alors :
\(\displaystyle{\int_{\omega_1}^{\omega_2}f(t)dt=\int_{\omega_1}^{c}f(t)dt+\int_{c}^{\omega_2}f(t)dt}\).
Remarque :
Cette définition ne dépend pas du choix du point \(c\) car, si \(d\) est un autre point de \(]\omega_1,\omega_2[\), l'intégrale \(\displaystyle{\int_{c}^{d}f(t)dt}\) est une constante, et la relation de Chasles montre également que la valeur de l'intégrale est indépendante du choix de \(c\).
On doit insister sur la nécessité de la convergence des deux intégrales \(\displaystyle{\int_{\omega_1}^{c}f(t)dt}\) et \(\displaystyle{\int_{c}^{\omega_2}f(t)dt}\). Par exemple, pour une fonction impaire localement intégrable sur \(]-\infty,+\infty[\), on a pour tout \(x\) réel \(\displaystyle{\int_{-x}^{x}f(t)dt=0}\) . Or les deux intégrales ne sont pas nécessairement convergentes.
Exemple :
Cas de l'intégrale \(\displaystyle{\int_{-\infty}^{+\infty}tdt}\) qui est divergente
En effet, on a \(\displaystyle{\int_{-x}^{x}tdt=\frac{1}{2}(x^2-x^2)=0}\). Cependant, les intégrales \(\displaystyle{\int_{-x}^{0}tdt}\) et \(\displaystyle{\int_{0}^{x}tdt}\) sont divergentes. Donc l'intégrale \(\displaystyle{\int_{-\infty}^{+\infty}tdt}\) est divergente.
Exemple :
En revanche, l'intégrale de la fonction impaire \(\displaystyle{x\mapsto\frac{x}{(x^2+1)^{3/2}}}\) sur \(]-\infty,+\infty[\)est convergente.
En effet \(\displaystyle{\int_{0}^{x}\frac{t}{(t^2+1)^{3/2}}dt=\left[-\frac{1}{(t^2+1)^{1/2}}\right]_0^x=1-\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}\),
d'où \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\int_0^x\frac{t}{(t^2+1)^{3/2}}dt=1}\).
Les deux intégrales \(\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\frac{t}{(t^2+1)^{3/2}}dt}\) et \(\displaystyle{\int_{-\infty}^{0}\frac{t}{(t^2+1)^{3/2}}dt}\) sont convergentes et valent respectivement \(1\) et \(–1\).
L'intégrale \(\displaystyle{\int_{-\infty}^{-\infty}\frac{t}{(t^2+1)^{3/2}}dt}\) est donc convergente et vaut bien entendu \(0\).