Convergence absolue d'une intégrale impropre
Définition :
Soit \(f\) une fonction réelle, localement intégrable sur un intervalle \([a,\omega[\), avec \(\omega\in\mathbb R\) ou \(\omega=+\infty\). On dit que l'intégrale \(\displaystyle{\int_{a}^{\omega}f(t)dt}\) est absolument convergente si l'intégrale \(\displaystyle{\int_{a}^{\omega}\vert f(t)\vert dt}\) est convergente.
Théorème :
Une intégrale absolument convergente est convergente.
Preuve :
On utilise deux fois la condition de Cauchy, une première sous forme de condition nécessaire, une deuxième sous forme de condition suffisante.
Détails :
Soit \(\epsilon>0\)
L'intégrale \(\displaystyle{\int_{a}^{\omega}\vert f(t)\vert dt}\) étant convergente, elle satisfait à la condition de Cauchy. Il existe donc \(\mathcal X(\epsilon)\in[a,\omega[\) tel que :
\(\forall\mathcal X_1,\forall\mathcal X_2,\mathcal X(\epsilon)<\mathcal X_1<\mathcal X_2<\omega\Rightarrow\displaystyle{\int_{\mathcal X_1}^{\mathcal X_2}\vert f(t)\vert dt<\epsilon}\)
Soient donc \(\mathcal X_1\) et \(\mathcal X_2\) tels que\( \mathcal X(\epsilon)<\mathcal X_1<\mathcal X_2<\omega\). On a alors :
\(\displaystyle{\left\vert\int_{\mathcal X_1}^{\mathcal X_2}f(t)dt\right\vert\leq\int_{\mathcal X_1}^{\mathcal X_2}\vert f(t)\vert dt<\epsilon}\).
On a montré :
\(\displaystyle{\forall\epsilon>0,\exists\mathcal X(\epsilon),\forall\mathcal X_1,\forall\mathcal X_2,\mathcal X(\epsilon)<\mathcal X_1<\mathcal X_2<\omega\Rightarrow\left\vert\int_{\mathcal X_1}^{\mathcal X_2}f(t)dt\right\vert}\).
Ce qui signifie que l'intégrale \(\displaystyle{\int_{a}^{\omega}f(t)dt}\) satisfait au critère de Cauchy, elle est convergente.
L'importance de ce dernier théorème est très grande. Il existe des intégrales qui sont convergentes sans être absolument convergentes, mais les outils permettant de les étudier sont rares et très ciblés : la règle d'Abel est d'un emploi très limité. Aussi, pour étudier la nature d'une intégrale impropre \(\displaystyle{\int_{a}^{\omega}f(t)dt}\), on commencera toujours par étudier l'intégrale \(\displaystyle{\int_{a}^{\omega}\vert f(t)\vert dt}\), d'où l'importance de l'intégrale des fonctions positives.
Remarque :
Il existe des intégrales convergentes qui ne sont pas absolument convergentes.
Exemple : Étude d'une intégrale semi-convergente
On commence par remarquer que quand x tend vers \(0\), on a :\(\displaystyle{\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1}\) . La fonction se prolonge en une fonction continue en \(0\). Il n'y a pas de problème de convergence en \(0\).
L'intégrale \(\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin t}{t}dt}\) n'est pas absolument convergente
L'intégrale \(\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin t}{t}dt}\) est convergente
Preuve : La non-convergence absolue
On montre que l'intégrale \(\int_0^{+\infty} \frac{|sin(t)|}t dt\)ne vérifie pas le critère de Cauchy.
On a, pour \(n\ge2\):\(\int_{(n-1)\pi}^{n\pi} \frac{|sin(t)|}t dt\ge \frac{1}{n\pi}\int_{(n-1)\pi}^{n\pi} |sin(t)|dt=\frac{2}{n\pi}\)
D'où \(\int_{(n-1)\pi}^{2n\pi} \frac{|sin(t)|}t dt\ge\frac{2}{\pi} \displaystyle{\sum_{k=n}^{2n} \frac{1}k}\ge\frac{2}{\pi}\frac{n}{2n}=\frac{1}\pi\).
Donc en prenant \(\epsilon=\frac{1}\pi\), on a : \(\forall\mathcal X,\exists n>\mathcal X, \int_{(n-1)\pi}^{2n\pi} \frac{|sin(t)|}t dt\ge\frac{1}\pi\)
Le critère de Cauchy n'est pas vérifié et l'intégrale \(\int_0^{+\infty} \frac{|sin(t)|}t dt\)est divergente.
Preuve : La convergence
Pour \(x > 1\), une intégration par parties donne :
\(\int_1^x \frac{sin(t)}t dt = \left[-\frac{cos(t)}t\right]_1^x-\int_1^x\frac{cos(t)}{t^2}dt\).
On a :\(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{cos(x)}x=0}\) et \(\frac{|cos(t)|}{t^2}\le\frac{1}{t^2}\). Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), le premier terme a une limite et l'intégrale \(\int_1^x\frac{cos(t)}{t^2}dt\)a également une limite. Donc la fonction\(x\mapsto \int_1^x \frac{sin(t)}t dt \)a une limite quand \(x\) tend vers \(+\infty\)et l'intégrale\(\int_0^{+\infty} \frac{sin(t)}t dt \)est convergente.