Critère de convergence
Théorème : Condition nécessaire et suffisante de convergence
Soit \(f\) une fonction positive ou nulle localement intégrable sur un intervalle \([a,\omega[\), avec \(\omega\in\mathbf R\) ou \(\omega=+\infty\).
L'intégrale\( \displaystyle{\int_{a}^{\omega}f(t)dt}\) est convergente si et seulement s'il existe un réel \(M\) tel que l'on ait :
\(\displaystyle{\forall x\in[a,\omega[,\int_{a}^{x}f(t)dt\leq M}\).
Preuve :
La fonction \(\mathcal F\) étant croissante, a une limite quand \(x\) tend vers\( \omega\), d'après le théorème de la limite monotone, si et seulement si, elle est bornée au voisinage de \(\omega\).
Complément : Convention d'écriture
Dans le cas des fonctions positives et dans ce cas seulement, on écrit,
dans le cas où la fonction \(\mathcal F\) est majorée et donc l'intégrale convergente ,
\(\displaystyle{\int_{a}^{\omega}f(t)dt<+\infty}\)
dans le cas où la fonction \(\mathcal F\) n'est pas majorée et donc l'intégrale divergente
\(\displaystyle{\int_{a}^{\omega}f(t)dt=+\infty}\)
Il convient de ne pas abuser de ces notations qui sont purement symboliques.