Premier théorème de comparaison

Les théorèmes de comparaison jouent un rôle fondamental dans l'étude des intégrales impropres.

ThéorèmePremier théorème de comparaison

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions localement intégrables sur un intervalle \([a,\omega[\), avec \(\omega\in\mathbb R\) ou \(\omega=+\infty\), et vérifiant sur cet intervalle \(0\leq f\leq g\);

  • si l'intégrale \(\displaystyle{\int_{a}^{\omega}g(t)dt}\) est convergente, l'intégrale \(\displaystyle{\int_{a}^{\omega}f(t)dt}\) est convergente,

  • si l'intégrale \(\displaystyle{\int_{a}^{\omega}f(t)dt}\) est divergente, l'intégrale \(\displaystyle{\int_{a}^{\omega}g(t)dt}\) est divergente.

Preuve

Elle repose sur l'utilisation des inégalités entre intégrales et les théorèmes de comparaison sur les limites.

Détails :

On pose \(\displaystyle{\forall x\ge qa,\quad\mathcal F(x)=\int_a^xf(t)dt}\) et \(\displaystyle{\mathcal G(x)=\int_a^xg(t)dt}\)

Pour tout \(\displaystyle{x\ge qa}\) on a \(\displaystyle{\int_a^xf(t)dt\leq\int_a^xg(t)dt}\) soit \(\mathcal F(x)\leq\mathcal G(x)\)

Les fonctions \(\mathcal F\) et \(\mathcal G\) sont croissantes. On en déduit :

  • si la fonction  \(\mathcal G\) a une limite quand \(x\) tend vers \(\omega\), elle est majorée, la fonction\( \mathcal F\) est alors majorée et a donc une limite.

  • si la fonction \(\mathcal F\) tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(\omega\), elle n'est pas majorée, donc la fonction \(\mathcal G\) n'est pas majorée et tend vers \(+\infty\) quand\( x\) tend vers \(\omega\).

Remarque

La nature d'une intégrale impropre ne dépendant que du comportement de la fonction quand \(x\) tend vers \(\omega\), il suffit dans la pratique de supposer les inégalités vérifiées au voisinage de \(\omega\) .

Exemple

Étude de l'intégrale \(\int_0^1 sin(t)ln(t)dt\)

Pour tout \(x\) vérifiant \(0< x\leq1\), la fonction \(x\mapsto\sin x\ln x\) garde un signe constant négatif. On a alors \(0<-\sin x\ln x\leq-\ln x\).

Or l'intégrale \(\displaystyle{\int_0^1-\ln tdt}\) est convergente, donc l'intégrale \(\displaystyle{\int_0^1\sin t\ln tdt}\) est convergente.

Exemple

Étude de l'intégrale \(\int_e^{+\infty} \frac{dt}{\sqrt{t} ln(t)}\)

On a, pour \(x\) assez grand, \(0<\ln x<\sqrt x\) d'où\( \displaystyle{\frac{1}{\ln x\sqrt x}\ge \frac{1}{x}}\) . L'intégrale \(\displaystyle{\int_e^{+\infty}\frac{dt}{t}}\) est divergente donc l'intégrale \(\displaystyle{\int_e^{+\infty}\frac{dt}{\sqrt t\ln t}}\) est divergente.