Relation d'équivalence

Définition

On dit qu'une relation est une relation d'équivalence si elle est :

  • symétrique[1] : \(\forall x\in E,~\forall y\in E,~ x \color{red}R\color{black} y\Rightarrow y \color{red}R\color{black} x,\)

  • réflexive[2] : \(\forall x\in E, ~x \color{red}R\color{black} x,\)

  • transitive[3] : \(\forall x\in E,~\forall y\in E,~\forall z\in E,~ (x \color{red}R\color{black} y ~\textrm{et}~ y \color{red}R\color{black} z)\Rightarrow x \color{red}R\color{black} z.\)

Dans le cas d'une relation d'équivalence, deux éléments en relation sont aussi dits équivalents.

Exemple

  1. Sur tout ensemble, l'égalité de deux éléments.

  2. Sur l'ensemble des droites (du plan ou de l'espace), la relation " droites parallèles ou confondues " .

  3. Sur l'ensemble des bipoints du plan (ou de l'espace), la relation d'équipollence.

  4. Pour les angles du plan, la relation de congruence modulo \(2\pi .\)

  5. Dans \(\mathbb Z,\) la relation \(x \equiv y \mod (n),\) si \(x - y\) est divisible par l'entier \(n.\)

  6. Dans \(E = \mathbb N \times \mathbb N,\) \((a,b) \color{red}R\color{black} (a',b')\Leftrightarrow a + b' = a' + b.\)

  7. Dans \(E = \mathbb Z \times \mathbb Z^*,\) \((p,q) \color{red}R\color{black} (p',q')\Leftrightarrow pq' = p'q.\)

DéfinitionClasse d'équivalence

Étant donné un ensemble \(E\) muni d'une relation d'équivalence \(\color{red}R\color{black},\) on appelle classe d'un élément \(x\) l'ensemble :

\(\boxed{C_x = \{y\in E ~|~ x \color{red}R\color{black} y\}}.\)

Propriété

Toute classe d'équivalence contient au moins un élément. En effet, puisque tout élément \(x\) est équivalent à lui-même, la classe \(C_x\) de \(x\) contient au moins l'élément \(x.\)

Théorème

Soient les classes \(C_x\) et \(C_y\) de deux éléments \(x\) et \(y.\) Ces classes sont disjointes ou sont confondues.

Démonstration

  • \(1^{er}\) cas : \(C_x\cap C_y = \emptyset.\) Les deux classes sont disjointes.

  • \(2^e\) cas : \(C_x\cap C_y \neq\emptyset.\) Soit \(z\in C_x\cap C_y .\) On a \(x \color{red}R\color{black} z\) et \(y \color{red}R\color{black} z,\) donc on a \(x \color{red}R\color{black} z\) et \(z \color{red}R\color{black} y,\) et par transitivité \(x \color{red}R\color{black} y.\) On en conclut que \(y\) est dans la classe de \(x\) : \(y\in C_x.\) Montrons que la classe de \(y\) est contenue dans celle de \(x.\) Soit \(z_1\in C_y.\) On a \(y \color{red}R\color{black} z_1\) et \(x \color{red}R\color{black} y,\) et donc \(x \color{red}R\color{black} z_1\) par transitivité. C'est-à-dire \(z_1\in C_x\) et donc \(C_y\subset C_x.\) De la même façon, on montre \(C_x\subset C_y.\) Donc les deux classes \(C_x\) et \(C_y\) sont confondues.

DéfinitionReprésentant d'une classe

\(C_x\) est la classe d'équivalence de tout élément \(z\) de \(C_x.\) En effet, si \(y\) et \(z\) appartiennent à la classe de \(x,\) alors leurs classes sont confondues avec celle de \(x.\) Ceci justifie d'appeler tout élément d'une classe représentant de cette classe.

Partition d'un ensemble

L'ensemble \(E\) est partagé en une réunion disjointe de classes.

\(E =\cup_{x\in E}C_x\)

Les classes forment une partition de l'ensemble \(E\) :

  • Chaque élément de \(E\) appartient à une classe au moins

  • Chaque élément de \(E\) appartient à une seule classe.

Exemple

  1. \(\forall x\in E,~ C_x = \{x\}\) pour l'égalité.

  2. Relation de parallélisme sur les droites du plan : si \(d\) est une droite, sa classe d'équivalence \(C_d\) est par définition la direction de \(d.\)

  3. Relation d'équipollence sur les bipoints \((A, B)\) : la classe d'équivalence \(C_{AB}\) est par définition le vecteur libre \(AB.\)

  4. Pour les angles du plan, la classe d'équivalence d'un angle par la relation de congruence modulo \(2\pi\) est l'angle lui-même modulo \(2\pi.\)

  5. Pour la congruence modulo \(n,\) les classes d'équivalence sont représentées par \(0, 1, 2, \dots, n-1,\) où \(i = \{x~ |~\exists k\in\mathbb Z, x - i = kn \}.\)

  6. \(E = \mathbb N \times \mathbb N,~ (a, b) \color{red}R\color{black} (a', b')\Leftrightarrow a + b' = a' + b.\) La classe de \((a, b)\) est par définition le nombre relatif \(a - b.\)

  7. \(E = \mathbb Z \times \mathbb Z^ *,~ (p, q)\color{red}R\color{black} (p', q')\Leftrightarrow pq' = p'q.\) La classe de \((p, q)\) est par définition le nombre rationnel \(p/q.\)