Relation d'ordre
Définition :
Soit \(E\) un ensemble. Une relation binaire \(\color{red}R\) dans \(E\) est une relation d'ordre[1] si elle est :
réflexive : \(\forall x\in E, ~x \color{red}R\color{black} x\)
antisymétrique : \(\forall x\in E,~\forall y\in E,~ (x \color{red}R\color{black} y~\textrm{et}~y \color{red}R\color{black} x)\Rightarrow x=y\)
transitive : \(\forall x\in E,~\forall y\in E,~\forall z\in E,~ (x \color{red}R\color{black} y ~\textrm{et}~ y \color{red}R\color{black} z)\Rightarrow x \color{red}R\color{black} z\)
Exemple :
La relation d'ordre \(x\leq y\) sur les nombres réels.
La relation d'ordre \(x\geq y\) sur les nombres réels.
La relation d'inclusion \(\subset\)sur les parties d'un ensemble.
Remarque : Notation
Par analogie avec la relation d'ordre sur les nombres, on note souvent les relations d'ordre avec le symbole \(\leq.\)
Attention :
La relation \(x < y\) sur \(\mathbb R\)n'est pas une relation d'ordre car elle n'est pas réflexive.
\(x < y~~\textrm{pour} ~~x\leq y ~\textrm{et}~ x\neq y\)
On dit cependant quelquefois que c'est une relation d'ordre strict, ce qui est dangereux puisque ce n'est pas une relation d'ordre. Même problème pour l'inclusion stricte des ensembles.
Définition : Ordre total
La relation d'ordre sur les nombres est une relation d'ordre total. En effet deux éléments sont toujours comparables. Étant donnés deux nombres réels \(x\) et \(y,\) on a toujours \(x\leq y\) ou \(x\geq y.\)
\(\boxed{\forall x\in\mathbb R,~\forall y\in\mathbb R,~~ ( x\leq y~ \textrm{ou}~ x\geq y)}\)
La relation d'inclusion entre sous-ensembles d'un ensemble \(E\) n'est pas une relation d'ordre total sur \(\color{red}P\color{black}(E).\) Il existe des ensembles tel que le premier ne soit pas inclus dans le second, ni le second inclus dans le premier. Par exemple \([1, 3]\not\subset [0, 2]\) et \([0, 2]\not\subset [1, 3]\) pour des intervalles de \(\mathbb R.\)
Définition : majorant
Soit \(E\) un ensemble muni d'une relation d'ordre notée \(\leq\)et \(F\) un sous-ensemble de \(E.\)
On dit qu'un élément \(M\in E\) est un majorant de \(F\) s'il est plus grand que tous les éléments de \(F.\)
\(\forall x \in F,~~x\leq M\)
Si \(M\) est un majorant de \(F,\) tout élément plus grand que \(M\) est aussi un majorant.
Définition : minorant
On dit qu'un élément \(m\in E\) est un minorant de \(F\) s'il est plus petit que tous les éléments de \(F.\)
\(\forall x\in F,~~ m\leq x\)
Si \(m\) est un minorant de \(F,\) tout élément plus petit que \(m\) est aussi un minorant.
Définition : ensemble majoré
On dit qu'un sous-ensemble \(F\) de \(E\) ensemble ordonné est majoré s'il possède un majorant.
\(\exists M\in E,~ \forall x\in F,~~ x\leq M\)
(d'après les règles d'usage des quantificateurs)
Définition : ensemble minoré
Un sous-ensemble \(F\) d'un ensemble ordonné \(E\) est minoré s'il possède un minorant.
\(\exists m\in E,~\forall x\in F,~~ m\leq x\)
Définition : ensemble borné
Un sous-ensemble \(F\) d'un ensemble ordonné \(E\) est borné si il possède à la fois un majorant et un minorant, c'est-à-dire s'il est à la fois majoré et minoré.
\(\exists m\in E,~ \exists M\in E,~\forall x\in F,~~ m\leq x\leq M\)
Définition : plus grand élément
Soit \(E\) un ensemble muni d'une relation d'ordre notée\(\leq\) et \(F\) un sous-ensemble de \(E.\)
On dit qu'un élément \(M\in F\) est le plus grand élément de \(F,\) si c'est un majorant de \(F,\) c'est-à-dire si il est plus grand que tous les éléments de \(F.\)
\(M\in F~ \textrm{et}~ (\forall x\in F, ~~x\leq M)\)
On définit de la même façon
plus petit élément \(m\) de \(F\) : \(m\in F~ \textrm{et}~ (\forall x\in F,~~ m\leq x)\)
Unicité du plus grand élément
Nous avons mis le plus grand élément de \(F,\) car il est facile de voir que si nous supposons dans \(F\) deux tels éléments \(M'\) et \(M",\) on a \(M'\leq M"\) et \(M"\leq M',\) et donc d'après l'antisymétrie de la relation d'ordre, \(M' = M".\)
Si un majorant de \(F\) appartient à \(F,\) alors c'est le plus grand élément de \(F.\)
Un sous-ensemble \(F\) majoré peut ne pas avoir de plus grand élément. Par exemple, l'ensemble des nombres rationnels inférieurs à \(\sqrt{2}\)est majoré par exemple par \(2,\) mais il n'a pas de plus grand élément.
Définition :
Soit un ensemble ordonné \(E\) et \(F\) un sous-ensemble de \(E.\) On suppose que \(F\) est majoré.
Si l'ensemble des majorants de \(F\) admet un plus petit élément, il est appelé borne supérieure de \(F\) et noté \(\sup F.\)
Définition :
Soit un ensemble ordonné \(E\) et \(F\) un sous-ensemble de \(E.\) On suppose que \(F\) est minoré.
Si l'ensemble des minorants de \(F\) admet un plus grand élément il est appelé borne inférieure de \(F\) et est noté \(\inf F.\)
Il est facile de montrer les implications suivantes qui résultent simplement des définitions.
Propriété :
Soit un ensemble ordonné \(E\) et \(F\) un sous-ensemble de \(E.\)
Si \(F\) admet un plus grand élément \(M,\) alors \(M\) est la borne supérieure de \(F.\)
Si \(F\) admet une borne supérieure \(a,\) alors \(a\) est un majorant de \(F.\)
Si \(F\) a une borne supérieure qui appartient à \(F,\) alors c'est aussi le plus grand élément de \(F.\)
Si \(F\) admet un plus petit élément \(M,\) alors \(M\) est la borne inférieure de \(F.\)
Si \(F\) admet une borne inférieure \(a,\) alors \(a\) est un minorant de \(F.\)
Si \(F\) a une borne inférieure qui appartient à \(F,\) alors c'est aussi le plus petit élément de \(F.\)