Exercice n°1

Partie

Question

Soit \(A,~ B,~ C,~ D\) des ensembles. On considère les applications \(f : A\rightarrow B,\) \(g : B\rightarrow C,\) \(h : C\rightarrow D.\)

Montrer que les applications \(g\circ f\) et \(h\circ g\) sont bijectives si et seulement si \(f,\) \(g\) et \(h\) le sont.

Solution détaillée

  1. Si \(f\) et \(g\) sont bijectives, la composée de deux bijections étant bijective, \(g\circ f\) et \(h\circ g\) sont bijectives.

  2. On utilise le résultat montré antérieurement

    • Si \(g\circ f\) est injective, alors \(f\) est injective.

    • Si \(g\circ f\) est surjective, alors \(g\) est surjective.

    Alors :

    Puisque \(g\circ f\) est bijective, \(f\) est injective et \(g\) est surjective.

    Puisque \(h\circ g\) est bijective, \(g\) est injective et \(h\) est surjective.

    Des deux propositions précédentes on déduit que \(g\) est bijective et possède une application inverse \(g^{-1}\) elle aussi bijective.

    Alors \(g^{-1} (g\circ f) = f .\)

    \(f\) composée de deux applications bijectives est donc bijective.

    \(h = (h\circ g)\circ g^{-1}.\) De même \(h\) est bijective, composée de deux applications bijectives.