Exercice n°4
Partie
Question
Soit \(X\) un ensemble, \(P(X)\) l'ensemble des parties de \(X,\) \(f : X\rightarrow P(X)\) une application, et \(X'\) l'ensemble des éléments \(x\) de \(X\) tels que \(x\) n'appartienne pas à \(f(x).\)
Montrer que \(X'\) n'appartient pas à l'image de \(f.\) En déduire qu'il n'existe pas d'application surjective de \(X\) sur \(P(X).\)
Solution détaillée
\(X' = \{x\in E~ |~ x\notin f (x)\}\)
Supposons qu'il existe un élément \(x'\) tel que \(X' = f (x').\) Est-ce que \(x'\in X'\) ?
Première hypothèse : \(x'\in X'\) par définition de \(X'.\)
Cela veut dire \(x'\notin f (x')\) or \(f (x') = X'\) d'où contradiction.
Deuxième hypothèse : \(x'\notin X'\) \(x'\notin f (x')\) alors par définition de \(X'\) cela implique \(x'\in X'\) d'où contradiction.
On a donc un élément \(X'\) de \(P (X)\) qui n'est pas image d'un élément de \(X\) par \(f.\)
Ce raisonnement est valable pour toute application \(f : X\rightarrow P (X).\)
Il n'existe donc pas d'application surjective de \(X\) dans \(P (X).\)