Exercice n°2

Partie

Question

Soit \(f\) une application d'un ensemble \(A\) non vide dans un ensemble \(B.\) Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :

  1. \(f\) est injective.

  2. Pour tout ensemble \(D\) et tout couple \((g, h)\) d'applications de \(C\) dans \(A,\)

    \(f\circ g = f \circ h\Rightarrow g = h.\)

Solution détaillée

  • Montrons que si \(f\) est injective, la deuxième propriété est vraie.

    Soit donc un couple d'applications \((g , h)\) de \(C\) dans \(A\) tel que \(f\circ g = f\circ h.\)

    On doit montrer \(g = h.\) Soit un élément \(c\) quelconque de \(C.\) \(f\circ g (c) = f\circ h (c)\) donc \(f [g (c)] = f [h (c)].\)

    L'injectivité de \(f\) permet d'affirmer pour tout \(c~~ g (c) = h (c)\) et donc l'égalité de deux applications \(g\) et \(h.\)

  • Réciproque :

    On suppose que la deuxième propriété est vraie et on veut montrer que \(f\) est injective.

    On prend deux éléments \(x\) et \(x'\) de \(A\) qui ont la même image \(f (x) = f (x').\)

    Soit \(C = \{0\},\) \(g\) l'application :

    \(C\rightarrow A~~ g (0) = x\)

    et \(h\) l'application :

    \(C\rightarrow A~~ h (0) = x'.\)

    Alors \(f \circ g = f \circ h\) puisque \(f\circ g (0) = f\circ h (0).\)

    De l'hypothèse on déduit \(g = h\) et donc \(x = x'.\) \(f\) est bien injective.