Démonstrations

Il est évident que \(\forall x,\forall y,~ P(x, y)\Leftrightarrow\forall y,\forall x, P(x, y)\)

La propriété \(\exists x,\exists y,~ P(x, y)\Leftrightarrow\exists y,\exists x,~ P(x, y)\) est vraie.

Détaillons comment on peut montrer une implication :

\(\exists x ,\exists y ,~ P(x , y).\) Donnons un nom \(a\) à un tel \(x.\)

On a donc la propriété \(\exists y ,~ P(a , y).\) Donnons un nom \(b\) à un tel \(y.\) On a \(P(a , b).\)

Alors on en conclut qu'il existe un \(x\) tel que \(P(x , b).\)

\(\exists x ,~ P(x , y)\) et donc qu'il existe un \(y\) tel que \(P(x , y).\)

On a la propriété \(\exists y ,\exists x ,~ P(x , y).\)

\(\exists x ,\exists y ,~ P(x , y)\Rightarrow\exists y ,\exists x ,~ P(x , y)\)

La propriété \(\exists x,\forall y,~ P(x, y)\Rightarrow\forall y,\exists x,~ P(x, y)\) est vraie.

\(\exists x ,\exists y ,~ P(x , y).\) Donnons un nom à un tel \(x\) soit \(a.\) \(\forall y,~ P(a , y).\)

On en conclut que \(\forall y ,\exists x ,~ P(x , y)\) puisque l'on peut prendre \(x = a.\)

On a donc l'implication :

\(\exists x ,\forall y ,~ P(x , y)\Rightarrow\forall y ,\exists x ,~ P(x , y)\)

Par contre l'implication réciproque :

\(\forall y,\exists x,~ P(x, y)\Rightarrow\exists x,\forall y,~ P(x, y)\) est fausse comme le montre l'exemple suivant :

\(\forall y\in\mathbb R,~\exists x\in\mathbb R,~ y^ 2 = x\) vraie mais \(\exists x\in\mathbb R,~\forall y\in\mathbb R,~ x = y^2\) est fausse.