Exercice n°3
Partie
Les propriétés suivantes sont-elles vraies ou fausses ; si elles sont fausses donnez un contre exemple.
Question
\((\exists x, (P(x)~ et~ Q(x)))\Rightarrow ((\exists x, P(x))~ et~ (\exists x, Q(x)))\)
Solution détaillée
La propriété \((\exists x, (P(x)~ et~ Q(x)))\Rightarrow ((\exists x, P(x))~ et~ (\exists x, Q(x)))\) est vraie :
Soit \(a\) tel que \(P(a)\) et \(Q(a),\) alors on peut affirmer :
\((\exists x, P(x))\) et \((\exists x, Q(x))\)
Question
\(((\exists x, P(x))~ et~ (\exists x, Q(x))\Rightarrow (\exists x, (P(x)~ et~ Q(x)))\)
Solution détaillée
La propriété \(((\exists x, P(x))~ et~ (\exists x, Q(x))\Rightarrow (\exists x, (P(x)~ et~ Q(x)))\) est fausse :
Il existe un réel supérieur à \(1\) et il existe un réel inférieur à \(-1\) n'implique pas l'existence d'un réel à la fois inférieur à \(-1\) et supérieur à \(1.\)
Question
\((\exists x, (P(x)~ ou~ Q(x)))\Rightarrow ((\exists x, P(x))~ ou~ (\exists x, Q(x)))\)
Solution détaillée
La propriété \((\exists x, (P(x)~ ou~ Q(x)))\Rightarrow ((\exists x, P(x))~ ou~ (\exists x, Q(x)))\) est vraie :
Si on a \(P(a)\) ou \(Q(a),\) on a \((\exists x, P(x))\) ou \((\exists x, Q(x)).\)
Question
\(((\exists x, P(x))~ ou~ (\exists x, Q(x))\Rightarrow (\exists x, (P(x)~ ou~ Q(x)))\)
Solution détaillée
La propriété \(((\exists x, P(x))~ ou~ (\exists x, Q(x))\Rightarrow (\exists x, (P(x)~ ou~ Q(x)))\) est vraie :
Si on a la proriété \(P\) on a \(P\) ou \(Q.\)
Si on a la proriété \(Q\) on a \(P\) ou \(Q.\)
Question
\((\exists x, (P(x)~ et~ Q(x)))\Leftrightarrow ((\exists x, P(x))~ et~ (\exists x, Q(x)))\)
Solution détaillée
La propriété \((\exists x, (P(x)~ et~ Q(x)))\Leftrightarrow ((\exists x, P(x))~ et~ (\exists x, Q(x)))\) est fausse car la propriété \(2.\) est fausse.
Question
\((\exists x, (P(x)~ ou~ Q(x)))\Leftrightarrow ((\exists x, P(x)) ~ou~ (\exists x, Q(x)))\)
Solution détaillée
La propriété \((\exists x, (P(x)~ ou~ Q(x)))\Leftrightarrow ((\exists x, P(x)) ~ou~ (\exists x, Q(x)))\) est vraie car les propriétés \(3.\) et \(4.\) sont vraies.