Démonstrations

\((\forall x, (P(x)~ et~ Q(x)))\Rightarrow ((\forall x, P(x)) ~et~ (\forall x, Q(x)))\) est vraie :

Si \(P(x)\) et \(Q(x)\) est vraie, les deux propriétés \(P(x)\) et \(Q(x)\) sont vraies pour chaque \(x.\)

\(((\forall x, P(x))~ et~ (\forall x, Q(x))\Rightarrow (\forall x, (P(x)~ et~ Q(x)))\) est vraie :

Si \(P(x)\) est toujours vraie et si \(Q(x)\) est toujours vraie, la conjonction de ces deux propriétés l'est aussi.

\((\forall x, (P(x)~ ou~ Q(x)))\Rightarrow ((\forall x, P(x))~ ou~ (\forall x, Q(x)))\) est fausse.

Contre-exemple :

Soit \(x\) un entier.

On note \(P(x)\) la propriété \("x\) est pair" et \(Q(x)\) la propriété \("x\) est impair".

Pour tout \(x\) \(P(x)\) ou \(Q(x)\) est vraie, mais on n'a pas :

\((\forall x,~ P(x))\) ou \((\forall x,~ Q(x)).\)

La propriété \(((\forall x, P(x))~ ou~ (\forall x, Q(x))\Rightarrow (\forall x, P(x)~ ou~ Q(x))\) est vraie :

Si on a \((\forall~ x, P(x))\) alors on a \(\forall x, (P(x)~ ou~ Q(x)).\)

On fait de même si on a \((\forall x, Q(x)).\)

La proposition \((\forall x, (P(x)~ et~ Q(x)))\Leftrightarrow ((\forall x, P(x))~ et~ (\forall x, Q(x)))\) est vraie d'après \(1.\) et \(2.\)

La proposition \((\forall x, (P(x)~ ou~ Q(x)))\Leftrightarrow ((\forall x, P(x))~ ou~ (\forall x, Q(x)))\) est fausse car la proposition \(3.\) est fausse.