Énoncé
Ce théorème est fondamental dans la théorie des polynômes.
Théorème : de la division euclidienne des polynômes
Soient \(f\) et \(g\) deux polynômes appartenant à \(K[X]\), \(g\) non nul.
Alors il existe deux polynômes de \(K[X]\) \(Q\) et \(R\), uniques, tels que :
\(f=gQ+R\) avec \(R=0\) ou \(degR<deg(g)\)
Vocabulaire : la "phrase" mathématique
\(f=gQ+R\) avec \(R=0\) ou \(deg R<deg(g)\)
est souvent appelée "Identité de la division euclidienne".
Le polynôme \(Q\) est appelé "quotient de la division euclidienne" et \(R\) le "reste de la division euclidienne".
Attention :
Le " ou " de la phrase mathématique ci-dessus est un "ou" exclusif, compte tenu du fait que le degré du polynôme nul n'est pas défini.
Remarque :
Attention à bien prendre en compte tout l'énoncé. L'égalité \(f=gQ+R\) ne suffit pas à caractériser l'identité de la division euclidienne et à déterminer le reste et le quotient de cette division. La condition imposée au polynôme \(R\) de vérifier l'inégalité \(deg R<deg(g)\) est aussi importante que l'égalité.
Exemple :
Considérons l'égalité \(X^3-X^2+1=(X+1)X^2+(-2X^2+1)\).
Ce n'est pas l'identité de la division euclidienne de \(X^3-X^2+1\) par \(X+1\) car le polynôme \(-2X^2+1\)qui devrait jouer le rôle de reste ne vérifie pas la condition : \(deg R<deg(g)\).