Exemple

Les restes successifs \(R_1\) et \(R_2\) sont non nuls et chacun est de degré supérieur ou égal à celui de \(g\) qui est égal à 2. C'est pourquoi on continue la division.

Par contre \(R_3\) est un polynôme de degré 1, donc de degré strictement inférieur à celui de \(g\). La division est donc terminée : \(Q_3\) en est le quotient et \(R_3\)le reste. L'identité de la division euclidienne est donc : \(\begin{array}{ccccc}\underbrace{X^5-X^4-X^3+3X^2-2X}&=&\underbrace{(X^2-X+1)}&\underbrace{(X^3-2X+1)}&\underbrace{+X-1}\\f(X)&&g(X)&Q(X)&R(X)\end{array}\)

Description de l'algorithme pas à pas

\(f(X)=X^5-X^4-X^3+3X^2-2X\)

\(g(X)=X^2-X+1\)

\(Q_{partiel}(X)\)

\(Q(X)\)

R(X)

0

\(X^5-X^4-X^3+3X^2-2X=f(X)\)

\(X^3\)

\(X^3=Q_1(X)\)

\(-2X^3+3X^2-2X=R_1(X)\)

\(-2X\)

\(X^3-2X=Q_2(X)\)

\(X^2=R_2(X)\)

1

\(X^3-2X+1=Q_3(X)\)

\(X-1=R_3(X)\)