Propriétés de la relation binaire de divisibilité

Étude de la réflexivité

Soit \(P\) un polynôme non nul. On a \(P=P\times 1\). Donc \(P\) divise \(P\) (ou \(P\) est un multiple de \(P\)). La relation de divisibilité est donc réflexive.

On en déduit immédiatement que l'ensemble des multiples de P contient P.

Étude de la transitivité

Soient \(A, B\) et \(C\) trois polynômes non nuls. Si \(A\) divise \(B\) et si \(B\) divise \(C\), alors \(A\) divise \(C\). La relation de divisibilité est donc transitive.

Preuve

Elle résulte immédiatement de la définition. En effet, si \(A\) divise \(B\), il existe un polynôme \(Q\) tel \(B=AQ\). De même, si \(B\) divise \(C\), il existe un polynôme \(Q'\) tel \(C=BQ'\). Alors \(C=(AQ)Q'=A(QQ')\) et donc \(A\) divise \(C\).

Étude de la symétrie

La relation de divisibilité n'est ni symétrique, ni antisymétrique.

Mais elle vérifie la propriété suivante : soient \(A\) et \(B\) deux polynômes non nuls. Si \(A\) divise \(B\) et si \(B\) divise \(A\), alors il existe un scalaire non nul \(\lambda\), tel que \(B=\lambda A\).

Preuve

Elle n'est pas symétrique puisqu'il existe des polynômes \(A\) et \(B\) tels que \(A\) divise \(B\) et \(B\) ne divise pas \(A\) :

en effet, le polynôme \(A(X)=X-1\) divise le polynôme \(B(X)=X^2-1\), mais \(B\)ne divise pas \(A\).

Elle n'est pas antisymétrique puisqu'il existe des polynômes A et B différents tels que \(A\) divise \(B\) et \(B\) divise \(A\).

En effet, soit \(A\) un polynôme non nul, le polynôme \(A\) divise le polynôme \(2A\) (\(2A=2\times A\)), le polynôme \(2A\) divise le polynôme \(A\) (\(A=\frac12\times(2A)\)), mais les polynômes \(A\) et \(2A\) sont distincts.

Plus généralement, si \(A\) et \(B\) sont des polynômes non nuls tels que \(A\) divise \(B\) et \(B\) divise \(A\), il existe deux polynômes \(Q_0\) et \(Q_1\) tels que \(B=AQ_1\) et A=BQ_0.

Il en résulte l'égalité :\(A=AQ_0Q_1\).

Tous les polynômes intervenant étant non nuls, on considère les degrés de ces polynômes. Il en résulte que les polynômes \(Q_0\) et \(Q_1\) sont des polynômes constants (on a \(A=AQ_0Q_1\) et donc \(Q_0Q_1\) de degré nul).

Donc \(A\) et \(B\) sont de même degré et il existe \(\lambda \in K^*\), non nul, tel que \(A=\lambda B\).

Remarque

La relation de divisibilité n'est donc pas une relation d'ordre sur \(K[X]\).