Propriétés de l'ensemble des polynômes multiples d'un polynôme donné
Cette page est consacré à l'étude de l'ensemble des multiples d'un polynôme donné.
Règle : Notation
Si \(P\) est un polynôme appartenant à \(K[X]\), on note \(PK[X]\) l'ensemble des polynômes multiples de \(P\).
Autrement dit, \(PK[X]=\{Q\in K[X];\exists Q_1\in K[X], Q=PQ_1\}\)
On a déjà remarqué que \(P\) appartient à \(PK[X]\).
La première propriété étudiée donne un lien entre la notion de divisibilité et l'ensemble des polynômes multiples d'un polynôme.
Théorème : Divisibilité et inclusion des ensembles de multiples
Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes appartenant à \(K[X]\). Alors \(P\) divise \(Q\) si et seulement si l'inclusion \(QK[X]\subset PK[X]\) est vraie.
Remarque :
Faire bien attention au sens de l'inclusion.
Preuve :
La démonstration se décompose en deux parties puisque l'on doit prouver une équivalence entre deux propriétés.
On suppose que \(P\) divise \(Q\) : alors il existe un polynôme \(S\) tel que \(Q=PS\).
Cela prouve que \(Q\) appartient à \(PK[X]\); cela entraîne immédiatement que tout élément de \(QK[X]\), qui s'écrit \(QQ_1\), peut être écrit sous la forme \(PSQ_1\) et donc appartient à \(PK[X]\). Cela prouve l'inclusion \(QK[X]\subset PK[X]\).
Réciproquement, on suppose vraie l'inclusion \(QK[X]\subset PK[X]\).
Comme \(Q\) appartient à \(QK[X]\), il appartient à \(PK[X]\) et donc il existe \(Q_1\) appartenant à \(K[X]\) tel que \(Q=PQ_1\). Cela prouve que le polynôme \(P\) divise le polynôme \(Q\) et achève la démonstration.
Corollaire :
\(QK[X]=PK[X]\Leftrightarrow \exists \lambda \in K^*/P=\lambda Q\)
La deuxième propriété étudiée concerne la structure.
L'ensemble \(K[X]\) est muni de deux opérations : l'addition et le produit. Le théorème qui suit étudie leur comportement sur l'ensemble des multiples d'un polynôme.
Théorème : Propriétés de l'ensemble des multiples d'un polynôme donné par rapport à l'addition et au produit de polynômes.
Soit \(P\) un polynôme de \(K[X]\).
La différence de deux polynômes multiples de \(P\) est un polynôme multiple de \(P\).
Le produit d'un polynôme multiple de \(P\) par un polynôme quelconque de \(K[X]\) est un multiple de \(P\).
Remarque : immédiates
Ceci a un sens car on a déjà vu que l'ensemble des multiples de \(P\) n'est pas vide, il contient au moins le polynôme nul.
La deuxième propriété est plus forte que la stabilité pour le produit.
La première propriété est équivalente à l'ensemble des deux propriétés suivantes : la somme de deux multiples de \(P\) est un multiple de \(P\) ; le symétrique d'un multiple de \(P\) est un multiple de \(P\).
Preuve :
Elle résulte immédiatement de la définition.
En effet, si \(A\) et \(B\) sont des multiples de \(P\), il existe des polynômes \(Q\) et \(Q'\) tels que \(A=PQ\) et \(B=PQ'\). Alors, \(A-B=P(Q-Q')\) et \(A-B\) est un multiple de \(P\).
Si \(A\) est un multiple de \(P\), il existe un polynôme \(Q\) tels que \(A=PQ\). Alors si \(T\) est un polynôme quelconque de \(K[X]\), on a \(AT=(PQ)T=P(QT)\) et le polynôme \(AT\) est un multiple de \(P\).