Définition et existence du PGCD de deux polynômes [Arithmétique dans K[X]]

Définition et existence du PGCD de deux polynômes

Nous allons traiter complétement le cas de deux polynômes et nous indiquerons pour chaque propriété si elle se conserve ou pas pour un nombre fini quelconque de polynômes et en quels termes.

Théorème : Définition du Plus Grand Commun Diviseur de deux polynômes

Soient \(P_{1}\) et \(P_{2}\) deux polynômes appartenant à K[X]. On suppose que l'un au moins est non nul. Il existe un polynôme \(D\) tel que :

Le polynôme \(D\) divise les polynômes \(P_{1}\) et \(P_{2}\).
Tout polynôme divisant \(P_{1}\) et \(P_{2}\) divise \(D\).

Il existe un seul polynôme unitaire satisfaisant aux 2 conditions ci-dessus.

Tout polynôme qui vérifie ces 2 conditions est un "plus grand commun diviseur" ; la notation \(\textrm{PGCD}~(P_{1}, P_{2})\) désigne, parmi les plus grands communs diviseurs, celui qui est unitaire.

Remarques:

La première condition signifie que \(D\) est un diviseur commun aux polynômes \(P_{1}\) et \(P_{2}\).
La deuxième condition signifie que \(D\) est un "plus grand".

Preuve :

Le plan de la démonstration de l'existence du PGCD est le suivant :

On considère l'ensemble noté \(P_{1} \textrm{K[X]} + P_{2}\textrm{K[X]}\) défini par :
\(P_{1} \textrm{K[X]} + P_{2}\textrm{K[X]} = \left\{ P \in \textrm{K[X]}~/~\exists~(Q_{1}, Q_{2}) \in (\textrm{K[X]})^{2}, P = P_{1}Q_{1} + P_{2}Q_{2} \right\}\)
On démontre que cet ensemble est un idéal de K[X]
On applique le théorème suivant qui caractérise les idéaux de K[X] :
Pour tout idéal \(I\) de K[X], il existe un polynôme \(P\) tel que \(I\) soit égal à l'ensemble des multiples de \(P\).
Ce qui peut s'écrire : \(I = P \textrm{K[X]} = \left\{ Q \in \textrm{K[X]} / \exists Q_{1} \in \textrm{K[X]}, Q = PQ_{1} \right\}\)
On dit que \(I\) est engendré par \(P\).
Si \(I\) n'est pas réduit au polynôme nul, \(P\) est non nul. Si, de plus, on impose à \(P\) d'être unitaire, il est unique.
On vérifie qu'un générateur \(D\) de l'idéal \(P_{1}\textrm{K[X]} + P_{2} \textrm{K[X]}\) satisfait aux 2 propriétés de l'énoncé du théorème
Il est important de noter qu'il résulte de la démonstration de cette caractérisation qu'un tel générateur est un polynôme de \(P_{1}\textrm{K[X]} + P_{2} \textrm{K[X]}\) admettant pour degré le plus petit des degrés des éléments non nuls de \(P_{1}\textrm{K[X]} + P_{2} \textrm{K[X]}\). On sait aussi que deux générateurs d'un idéal de \(K[X]\) diffèrent d'une constante multiplicative (ce qui signifie ici que si \(D_{1}\) est un autre polynôme engendrant \(P_{1}\textrm{K[X]} + P_{2} \textrm{K[X]}\), il existe \(\lambda \in \textrm{K}^{*}\) tel que \(D = \lambda D_{1}\)).
On en déduit l'existence d'un unique générateur unitaire qui est appelé le PGCD des polynômes \(P_{1}\) et \(P_{2}\); on le note \(\textrm{PGCD}~(P_{1}, P_{2})\).
Ici, les détails de la démonstration^[1].

Remarque :

Il est clair que, si au moins un des deux polynômes \(P\) ou \(Q\) est non nul, et si \(\lambda\) est une constante non nulle, on a l'égalité : \(\textrm{PGCD}~(\lambda P, Q) = \textrm{PGCD}~(P,Q)\).

Notes

Démonstration complète de l'existence d'un PGCD de deux polynômes
Théorème : Divisibilité et inclusion des ensembles de multiplesSoient P et Q deux polynômes appartenant à K[X]. Alors P divise Q si et seulement si l'inclusion Q \textrm{K[X]} \subset P\textrm{K[X]} est vraie.Deuxième étape On vérifie qu'un générateur D de l'idéal P_{1} \textrm{K[X]} + P_{2}\textrm{K[X]} satisfait à la 1ère propriété de l'énoncé du théorème.Les inclusions P_{1}\textrm{K[X]} \subset P_{1}\textrm{K[X]} + P_{2}\textrm{K[X]} et P_{2}\textrm{K[X]} \subset P_{1}\textrm{K[X]} + P_{2}\textrm{K[X]} sont immédiates, compte tenu de la définition de P_{1}\textrm{K[X]} + P_{2}\textrm{K[X]}.Comme D\textrm{K[X]} = P_{1}\textrm{K[X]} + P_{2}\textrm{K[X]}, l'application du théorème prouve que D divise P_{1} et P_{2}.Troisième étape On vérifie qu'un générateur D de l'idéal P_{1}\textrm{K[X]} + P_{2}\textrm{K[X]} satisfait à la 2ème propriété de l'énoncé du théorème.Soit donc P un diviseur commun à P_{1} et P_{2}.On en déduit les inclusions P_{1}\textrm{K[X]} \subset P\textrm{K[X]} et P_{2}\textrm{K[X]} \subset P\textrm{K[X]}.Donc, P_{1}\textrm{K[X]} + P_{2} \textrm{K[X]} est inclus dans P\textrm{K[X]} et on a donc l'inclusion : D\textrm{K[X]} \subset P\textrm{K[X]}.On en déduit (voir le théorème) que P divise D, ce qui achève la démonstration.