Polynômes premiers entre eux
Si \(\lambda\) est un élément non nul de \(\textrm{K}\), le polynôme constant égal à \(\lambda\) divise tout polynôme de \(\textrm{K[X]}\). Le cas particulier où il n'y a pas d'autres diviseurs communs est extrêmement intéressant.
Définition : Définition des polynômes premiers entre eux
On dit que deux polynômes non tous deux nuls sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
Vocabulaire
Si deux polynômes sont premiers entre eux, on dit aussi que l'un est premier avec l'autre.
De la même façon, on dit que \(n\) polynômes \(P_{1}, P_{2}, ..., P_{n}\) sont premiers entre eux dans leur ensemble si leur PGCD est égal à 1.
Exemple :
Soient les deux polynômes \(X-1\) et \(X^{2}+2X+1\). Compte tenu des propriétés du degré des polynômes, les seuls polynômes divisant \(X-1\) sont les polynômes constants non nuls et les polynômes de la forme \(\lambda (X - 1)\) où \(\lambda\) est une constante non nulle.
Donc, les seuls diviseurs unitaires de \(X-1\) sont les polynômes 1 et \(X-1\). Si on cherche les diviseurs unitaires communs à \(X-1\) et \(X^{2}+2X+1\), cela ne peut être que 1 et \(X-1\).
Or, \(X-1\) ne divise pas \(X^{2}+2X+1\) puisque la division euclidienne de \(X^{2}+2X+1\) par \(X-1\) donne \(X^{2}+2X+1 = (X-1)(X+3)+4\).
Donc le seul diviseur unitaire commun aux deux polynômes est 1.
Donc les deux polynômes \(X-1\) et \(X^{2}+2X+1\) sont premiers entre eux.
Remarque :
Le procédé utilisé ici est artisanal. Nous allons voir, plus loin, un algorithme de détermination du PGCD de deux polynômes : l'algorithme d'Euclide.
Cet exemple est cependant intéressant du fait de la propriété plus générale suivante qui se démontre exactement comme cela a été fait, dans l'exemple, pour le polynôme \(X-1\).
Propriété : Diviseurs des polynômes de degré 1
Les seuls polynômes divisant un polynôme \(P\) de degré 1 sont les polynômes constants non nuls et les polynômes de la forme \(\lambda P\) où \(\lambda\) est une constante non nulle.