Existence d'un diviseur irréductible
On a la propriété suivante
Théorème : Existence d'un diviseur irréductible
Tout polynôme, de degré supérieur ou égal à 1, appartenant à \(K[X]\), où \(K\) est un corps, possède un diviseur irréductible.
La preuve est basée sur la propriété suivante de N : Toute partie non vide de N a un plus petit élément.
Démonstration : Existence d'un diviseur irréductible pour tout polynôme non constant
Soit \(P\) un polynôme non constant. L'ensemble \(E\) des diviseurs non constants de \(P\) n'est pas vide puisqu'il contient \(P\) lui-même.
On en déduit que la partie \(\Omega\) de \(N\) dont les éléments sont les degrés des éléments de \(E\) n'est pas vide. Donc a un plus petit élément, soit \(n_0\). Il existe donc un élément de \(E\) (\(P_0\) est donc un diviseur non constant de \(P\)) dont le degré est égal à \(n_0\).
Alors \(P_0\) est irréductible. En effet, si \(P_0\) n'était pas irréductible, il aurait un diviseur, non constant, de degré strictement plus petit. Ce diviseur serait aussi un diviseur de P, et son degré serait donc strictement plus petit que \(n_0\). Cela est en contradiction avec la définition de l'entier \(n_0\).