Application à la détermination des PGCD et PPCM
La connaissance de la décomposition en facteurs irréductibles est très intéressante pour déterminer les PGCD et PPCM de polynômes.
Ce résultat sera principalement utilisé dans \(R[X]\) et dans \(C[X]\), anneaux de polynômes pour lesquels on aura une description complète des éléments irréductibles.
Pour plus de clarté, ce problème est traité dans le cas de deux polynômes, mais le résultat est encore vrai pour un nombre fini quelconque de polynômes.
Si \(A\) est un polynôme non nul unitaire de \(K[X]\), on note \(S_A\) l'ensemble des diviseurs irréductibles (dans \(K[X]\)) de \(A\). On a déjà remarqué que cet ensemble est non vide et fini. Par conséquent, la décomposition en facteurs irréductibles de \(A\) peut alors être écrite \(A=\displaystyle{\prod_{P\in S_A}}P^{\alpha_P}\), où \(\alpha_P=\nu_P(A)\) , valuation de \(A\) en \(P\) .
Ce produit a un sens car c'est un produit fini.
On peut faire la remarque suivante qui facilitera les notations :
Si \(S\) est une partie finie de \(K[X]\) formée de polynômes irréductibles, contenant \(S_A\), il est aussi possible d'écrire \(A=\displaystyle{\prod_{P\in S_A}}P^{\alpha_P}\). En effet, pour tous les polynômes \(P\) appartenant à \(S\) et n'appartenant pas à \(S_A\), on a \(\nu_P(A)=0\) et donc \(P^{\nu_P(A)}=1\) (grâce à la convention usuelle \(P^0=1\)).
Théorème : Lien entre la décomposition en éléments irréductibles et les notions de PGCD et de PPCM
Soient \(A\) et \(B\) deux éléments unitaires de \(K[X]\).
On peut écrire \(A\) et \(B\) sous la forme : \(A=\displaystyle{\prod_{P\in S_A}}P^{\alpha_P}\) et \(B=\displaystyle{\prod_{P\in S_B}}P^{\beta_P}\),
où \(\alpha_P\) et \(\beta_P\) sont des entiers positifs tels que : \(\alpha_P=\nu_P(A)\) et \(\beat_P=\nu_P(B)\).
Alors on a :
\(\textrm{PGCD}(A,B)=\displaystyle{\prod_{P\in S_A\cup S_B}}P^{~\textrm{min}(\nu_P(A),\nu_P(B))}\)
\(\textrm{PPCM}(A,B)=\displaystyle{\prod_{P\in S_A\cup S_B}}P^{~\textrm{max}(\nu_P(A),\nu_P(B))}\)
Remarque : immédiate
Si les polynômes \(A\) et \(B\) ne sont pas unitaires, on met en facteur leur coefficient dominant et l'on est ramené aux hypothèses du théorème.
La conclusion est la même.
Preuve :
L'écriture de \(A\) et \(B\) sous la forme : \(A=\displaystyle{\prod_{P\in S_A}}P^{\alpha_P}\) et \(A=\displaystyle{\prod_{P\in S_B}}P^{\alpha_P}\) provient immédiatement du théorème de décomposition en éléments irréductibles.
En effet on sait qu'un polynôme a un nombre fini de diviseurs irréductibles : ce sont les polynômes pour lesquels l'exposant est non nul.
La preuve des formules est immédiate ; il suffit de chercher la décomposition en facteurs irréductibles de \(\textrm{PGCD}(A,B)\) et \(\textrm{PPCM}(A,B)\) de et d'utiliser plusieurs fois le théorème de Gauss et les théorèmes que l'on en déduit immédiatement (voir les deux propositions qui terminent le premier paragraphe).
Exemple :
Soit les deux polynômes de \(R[X]\):
\(A(X)=(X^2+1)^2(X-1)\) et \(B(X)=(X^2+1)^4(X-1)^3(X+1)\)
On a vu, dans les premiers exemples donnés dans cette ressource, que \(X^2+1\) est un polynôme irréductible de \(R[X]\) (voir démonstration plus haut)
ainsi que les polynômes \(X-1\), \(X+1)\) (qui sont de degré 1).
On a donc la décomposition en produit de polynômes irréductibles dans \(R[X]\) de \(A\) et \(B\).
Alors, si \(D\) est le PGCD de \(A\) et de \(B\), on a :
\(D(X)=(X^2+1)^{\textrm{min}(2,4)}(X-1)^{\textrm{min}(1,3)}(X+1)^{\textrm{min}(0,1)}\)
d'où
\(D(X)=(X^2+1)^2(X-1)\)
De même, si \(M\) est le PPCM de \(A\) et de \(B\), on a :
\((X)=(X^2+1)^{\textrm{max}(2,4)}(X-1)^{\textrm{max}(1,3)}(X+1)^{\textrm{max}(0,1)}\)
et donc
\(M(X)=(X^2+1)^4(X-1)^3(X+1)\)
Evidemment, cette méthode est extrêmement simple et efficace, mais cet exemple a " gommé " la partie difficile qui est de trouver la décomposition en éléments irréductibles.