Arithmétique dans K[X]

Soit \(R\) un polynôme irréductible dans \(K[X]\). Pour tout polynôme non nul \(P\) de \(K[X]\), il existe un entier naturel n et un polynôme \(Q\) non nul, premier avec \(R\) tel que \(P=R^nQ\). Le couple \((n,Q)\) est unique.

L'application qui à tout élément \(P\) non nul de \(K[X]\) associe l'entier naturel n défini ci-dessus s'appelle la valuation relative à \(R\) et se note \(\nu_R\).

L'entier n qui intervient dans cette formule est donc noté \(\nu_R~(P)\) et on l'appelle la valuation de \(P\) en \(R\).

On convient de poser \(\nu_R(0)=+\infty\).

Existence

• Si le degré de \(P\) est nul, \(n=0\) et \(Q=P\) conviennent.

• On s'intéresse désormais aux polynômes non constants et l'on va faire une démonstration par récurrence sur le degré de \(P\).

* Soit \(P\) un polynôme de degré 1. Il est donc irréductible. Le résultat est alors vrai en prenant

\(n=0\) et \(Q=P\) si le polynôme \(P\) n'est pas égal à \(R\)

\(n=1\) et \(Q=1\) si le polynôme \(P\) est égal à \(R\)

Soit r un entier strictement positif.

* On suppose la propriété vraie pour tous les polynômes non nuls de degré strictement inférieur à r.

* Soit \(P\) un polynôme de degré r.

Si \(P\) est premier avec \(R\), on prend \(n=0\) et \(Q=P\).

Si \(P\) n'est pas premier avec \(R\), comme \(R\) est irréductible, \(R\) divise \(P\). Il existe donc un polynôme \(P_1\) tel que \(P=RP_1\). Comme le polynôme \(R\) n'est pas constant, le polynôme \(P_1\) est de degré strictement inférieur au degré de \(P\) et donc de degré strictement inférieur à r. On peut donc lui appliquer l'hypothèse de récurrence ce qui donne une décomposition pour \(P\).

Unicité

Pour démontrer l'unicité, on considère deux telles décompositions : soient donc deux couples \((n,Q)\) et \((n',Q')\) tels que \(P=R^nQ=R^{n'}Q'\).

Supposons les entiers n et \(n'\) différents. On a, par exemple, n strictement supérieur à \(n'\).

On déduit donc de l'égalité précédente et du fait que \(K[X]\) est un anneau intègre, l'égalité \(R^{n-n'}Q=Q'\) avec : \(n-n'>0\).

Le polynôme \(R\) divise donc le polynôme \(Q'\) ce qui est contraire au fait que \(R\) et \(Q'\) sont premiers entre eux. Donc : \(n=n'\). Toujours en utilisant l'intégrité de \(K[X]\), on en déduit que \(Q=Q'\).

Soit \(P\) un polynôme non constant de \(K[X]\). Alors il existe un scalaire \(\lambda\) non nul, des polynômes \(P_1,P_2,\ldots,P_k\) irréductibles sur \(K\), unitaires, distincts et des entiers positifs non nuls \(n_1,n_2,\ldots,n_k\), uniques tels que :

\(P=\lambda P_1^{n_1}P_2^{n_2}\ldots P_k^{n_k}\)

C'est encore une démonstration par récurrence sur le degré de \(P\) qui va être utilisée.

• Si le degré de \(P\) est nul, le résultat est évident.

• Si le degré de \(P\) est égal à 1, \(P\) est irréductible et il y a un seul polynôme unitaire irréductible le divisant, à savoir le polynôme \(\frac{1}{\lambda}P=P_1\) où \(\lambda\) est le coefficient dominant de \(P\). On a donc \(P=\lambda P_1\).

• Soit r un entier supérieur ou égal à 2.

  La propriété est supposée vraie pour tout polynôme de degré strictement inférieur à r.

  Soit \(P\) un polynôme de degré égal à r : on peut écrire ce polynôme sous la forme \(P=\lambda Q\), où \(\lambda\), élément de \(K^*\), est le coefficient dominant de \(P\) et où le polynôme \(Q\) est unitaire. Ce polynôme \(Q\) est donc de degré égal à r. Deux cas se présentent : ou bien \(Q\) est irréductible et c'est terminé, ou bien \(Q\) ne l'est pas et il admet alors un diviseur unitaire irréductible (d'après le théorème d'existence d'un diviseur irréductible). Alors \(Q=Q_1Q_2\), où \(Q_1\) est irréductible et \(Q_2\) est un polynôme non constant donc de degré strictement inférieur à r. On peut alors appliquer à \(Q_2\) l'hypothèse de récurrence, ce qui achève la démonstration.