Recherche de PGCD
Durée : 15 mn
Note maximale : 10
Question
Soit a un réel non nul.
Déterminer le PGCD des polynômes réels \(A\) et \(B\) suivants :
\(A(X)=X^{24}-a^{24}\), \(B(X)=X^9-a^9\)
Soit \(D\) ce PGCD, déterminer les polynômes \(A'\) et \(B'\) tels que \(A=DA'\) et \(B=DB'\).
Solution
(6 points)
On détermine le PGCD des polynômes A et B par l'algorithme d'Euclide, utilisant les divisions euclidiennes des polynômes.
En posant la division, on obtient :
\(\begin{array}{l|l}\begin{array}{rrrr}X^{24} & & & -a^{24} \\-X^{24} & +a^9X^{15} & & \\\hline& a^9X^{15} & & -a^{24} \\& -a^9X^{15} & +a^{18}X^6 &\\\hline& & a^{18}X^6 & -a^{24}\end{array}&\begin{array}{rr}X^9-a^9 & \\\hline X^{15}+a^9 & X^6 \\ \\\\\\\end{array}\end{array}\)
Donc \(X^{24}-a^{24}=(X^9-a^9)(X^15+a^9X^6)+a^18X^6-a^{24}\).
Il serait dommage de faire ensuite la division euclidienne de \(X^9-a^9\) par \(a^{18}X^6-a^{24}\) et de s'encombrer de coefficients.
On se sert plutôt de \(PGCD(X^{24}-a^{24}, X^9-a^9)=PGCD(X^9-a^9,a^{28}X^6-a^{24})\)
et de \(a^{28}X^6-a^{24}=a^{18}(X^6-a^6)\).
Donc on a : \(PGCD(X^9-a^9,a^{18}X^6-a^{24})=PGCD(X^9-a^9,X^6-a^6)\).
En faisant la division euclidienne de \(X^9-a^9\) par \(X^6-a^6\), on obtient :
\(\begin{array}{l|l}\begin{array}{rrr}X^{9} & & -a^{9} \\-X^{9} & +a^6X^{3} & \\\hline& a^6X^{3} & -a^{9}\end{array}&\begin{array}{rr}X^6 & -a^6 \\\hline X^3 \\ \\\end{array}\end{array}\)
Donc \(\begin{array}{ccc}X^9-a^9&=&(X^6-a^6)X^3+a^6X^3-a^9\\&=&(X^6-a^6)X^3+a^6(X^3-a^3)\end{array}\)
D'où \(PGCD(X^9-a^9,X^6-a^6)=PGCD(X^6-a^6,X^3-a^3)\).
Comme \(X^6-a^6=(X^3-a^3)(X^3+a^3)\), le polynôme \(X^3-a^3\) est le PGCD de \(X^6-a^6\) et de \(X^3-a^3\).
Donc \(PGCD(A(X),B(X))=PGCD(X^{24}-a^{24},X^9-a^9)=X^3-a^3\).
\(PGCD(X^{24}-a^{24},X^9-a^9)=X^3-a^3\)
(Remarque : 3 est le pgcd de 24 et de 9, ce qui n'est pas un hasard, on peut montrer
que \(\color{red} PGCD(X^n-a^n,X^p-a^p)=X^d-a^d\) où l'entier \(d\) est le pgcd des entiers \(n\) et \(p\)).
(4 points)
Comme le PGCD de \(A(X)\) et \(B(X)\) est le polynôme \(X^3-a^3\), les polynômes \(A(X)\)
et \(B(X)\) sont des multiples du polynôme \(X^3-a^3\).
En divisant \(A(X)\) et \(B(X)\) par \(X^3-a^3\), on trouve
\(A(X)=(X^3-a^3)(X^{21}+a^3X^{18}+a^6X^15+a^9X^{12}+a^{12}X^9+a^{15}X^6+a^{18}X^3+a^{21}=(X^3-a^3)(X^6+a^3X^3+a^6)\)
Donc
\(\color{red} A'(X)=X^{21}+a^3X^{18}+a^6X^{15}+a^9X^{12}+a^{12}X^9+a^{15}X^6+a^{18}X^3+a^{21}\)
\(\color{red} B'(X)=X^6+a^3X^3+a^6\)