Recherche de PGCD-PPCM
Durée : 20 mn
Note maximale : 14
Question
On considère les polynômes \(A\) et \(B\) de \(K[X]\) (\(K\) étant \(R\) ou \(C\)) suivants :
\(A(X)=X^6-7X^5+X^4+X^3-10X^2+22X-3\)
\(B(X)=X^4-8X^3+9X^2-8X+1\)
Déterminer le PGCD des polynômes \(A\) et \(B\).
Soit \(D\) ce PGCD, déterminer les polynômes \(A'\) et \(B'\) tels que \(A=DA'\) et \(B=DB'\).
Calculer le PPCM des polynômes \(A\) et \(B\).
Solution
(6points)
On détermine le PGCD des polynômes \(A\) et \(B\) par l'algorithme d'Euclide.
En posant la division, on obtient :
\(\begin{array}{l|l}\begin{array}{rrrrrrr}X^{6} & -7 X^{5} & +X^4 & +X^{3} & -10X^2 & +22X & -3 \\-X^{6} & +8X^5 & -9X^{4} & +8X^{3} & -X^2 & & \\\hline& X^{5} & -8X^{4} & +9X^{3} & -11X^2 & +22X & -3\\& -X^{5} & 8X^4 & -9X^{3} & +8X^2 & -X &\\\hline& & & & -3X^2 & +21X & -3\end{array}&\begin{array}{rrrrr}X^4 & -8X^3 & +9X^2 & -8X &+1 \\\hline& & X^2 & +X \\ \\\\\\\end{array}\end{array}\)
Donc \(A(X)=B(X)(X^2+X)-3X^2+21X-3\).
Ici aussi on remarque que \(-3X^2+21X-3=-3(X^2-7X+1)\).
Donc le PGCD de \(A\) et \(B\) est égal au PGCD de \(B\) et de \(C\) où \(C(X)=X^2-7X+1\).
On fait la division euclidienne de \(B\) par \(C\) :
En posant la division, on obtient :
\(\begin{array}{l|l}\begin{array}{rrrrr}X^{4} & -8 X^{3} & +9X^2 & -8X & +1 \\-X^{4} & +7X^{3} & -2X^{2} & & \\\hline& -X^{3} & +8X^{2} & -8X & +1 \\& X^{3} & -7X^{2} & +X & \\\hline& & X^{2} & -7X & +1 \\& & -X^{2} & +7X & -1 \\\hline& & & & 0\end{array}&\begin{array}{rrr}X^2 & -7X & +1\\\hline X^{2} & -X & +1 \\ \\\\\\\\\\\end{array}\end{array}\)
Donc \(C\) est le PGCD de \(A\) et \(B\).
\(\color{red} PGCD(A(X),B(X))=X^2-7X+1\)
(4 points)
On a trouvé \(B(X)=X^4-8X^3+9X^2-8X+1=(X^2-7X+1)(X^2-X+1)\).
Donc \(B=DB'\) avec \(B'(X)=X^2-X+1\).
On a vu aussi que
\(A(X)=B(X)(X^2+X)-3X^2+21X-3=B(X)(X^2+X)-3(X^2-7X+1)\)
Donc \(A(X)=(X^2-7X+1)[(X^2-X+1)(X^2+X)-3]=(X^2-7X+1)(X^4+X-3)\)
Donc \(A=DA'\), avec \(A'(X)=X^4+X-3\).
(Remarque : on peut aussi trouver \(A'(X)\) en effectuant la division du polynôme \(A(X)\) par le polynôme \(X^2-7X+1\))
(4 points)
Pour calculer le PPCM de \(A\) et \(B\) qui sont des polynômes unitaires,
on se sert de la formule : \(AB=PGCD(A,B)\times PPCM(A,B)\).
On peut calculer explicitement le produit \(AB\), puis diviser le résultat par le PGCD de \(A\) et \(B\). Il est préférable de se servir des résultats de la question 2. :
\(A=DA'\), avec \(A'(X)=X^4+X-3\) et \(B=DB'\) avec \(B'(X)=X^2-X+1\).
Donc \(AB=DA'\times DB'=PGCD(A,B)\times PPCM(A,B)\).
Donc \(PPCM(AB)=DA'B'\):
\(\color{red} \begin{array}{ccc}PPCM(A(X),B(X))&=&(X^2-7X+1)(X^4+X-3)(X^2-X+1)\\&=&X^8-8X^7+9X^6-7X^5-10X^4+33X^3-35X^2+25X-3\end{array}\)
On pouvait remarquer que : \(PPCM(A,B) = AB' = A'B\), puisque \(A = DA'\) et \(B = DB'\), et l'on pouvait alors calculer un de ces deux produits.