Arithmétique dans K[X]

(6 points)

On se sert de l'algorithme d'Euclide.

Lorsqu'on fait la division euclidienne de \(A\) par \(B\), on obtient :

\(X^5+2X^4-X-2=(X^4+X^3+2X^2+X+1)(X+1)-3(X^3+X^2+X+1)\)

donc \(A(X)=(X+1)B(X)-3(X^3+X^2+X+1)\).

Pour avoir des calculs plus simples on se sert du fait que

\(PGCD(A(X),B(X))=PGCD(B(X),3(X^3+X^2+X+1))\)

et \(PGCD(B(X),3(X^3+X^2+X+1))=PGCD(B(X), X^3+X^2+X+1)\)

On fait ensuite la division euclidienne de \(B(X)\) par \(X^3+X^2+X+1\), ce qui donne :

\(B(X)=X^4+X^3+2X^2+X+1=(X^3+X^2+X+1)X+X^2+1\)

puis la division euclidienne de \(X^3+X^2+X+1\) par \(X^2+1\):

On obtient \(X^3+X^2+X+1=(X^2+1)(X+1)\).

Comme \(X^2+1\) divise \(X^3+X^2+X+1\), alors \(X^2+1\) est le dernier reste non nul,

c'est le PGCD de \(B(X)\) et de \(X^3+X^2+X+1\), et donc le PGCD de \(A(X)\) et \(B(X)\).

\(PGCD(A(X),(B(X))=X^2+1\)

(7 points)

On détermine un couple \((U_0,V_0)\) tel que \(AU_0+BV_0=D\) :

Comme on a modifié le premier reste dans les divisions successives, on ne peut pas se servir de l'algorithme de détermination d'un couple \((U,V)\) vérifiant l'identité de Bézout.

Mais comme on n'a qu'un petit nombre de divisions, on fait une démonstration similaire, en regroupant les termes en \(A(X)\) et ceux en \(B(X)\).

Dans la question 1., on a trouvé : \(A(X)=B(X)(X+1)-3(X^3+X^2+X+1)\),

puis \(B(X)=(X^3+X^2+X+1)X+X^2+1\).

On a donc \(X^3+X^2+X+1=-\frac13 A(X)+\frac13(X+1)B(X)\)

et puisque \(X^2+1=B(X)-X(X^3+X2+X+1)\)

on en déduit : \(X^2+1=B(X)-X\left[-\frac13 A(X)+\frac13(X+1)B(X)\right]\)

donc \(X^2+1=\left(\frac13 X\right)A(X)+\left(-\frac13X^2-\frac13X+1\right)B(X)\).

En posant \(U_0(X)=\frac13 X\) et \(V_0(X)=-\frac 13X^2-\frac13X+1\), le couple \((U_0,V_0)\) vérifie \(AU_0+BV_0=D\).

(7 points)

On cherche ensuite tous les couples \((U,V)\) de polynômes qui vérifient l'égalité \(AU+BV=D\).

Donc un tel couple vérifie \(AU+BV=AU_0+BV_0\), soit \(A(U-U_0)=B(V_0-V)\).

Or \(A\) et \(B\) s'écrivent \(A=DA'\) et \(B=DB'\), et \(A'\) et \(B'\) sont premiers entre eux.

On obtient \(DA'(U-U_0=DB'(V_0-V)\), donc \(A'(U-U_0)=B'(V_0-V)\).

Comme \(A'\) et \(B'\) sont premiers entre eux, on déduit du théorème de Gauss que \(A'\) divise \(V_0-V\), donc l'existence d'un polynôme \(P\) tel que \(V_0-V=A'P\).

On obtient alors : \(A'(U-U_0)=B'A'P\) donc \(U-U_0=B'P\).

Donc s'il existe un autre couple \((U,V)\) tel que \(AU+BV=D\), il vérifie la condition suivante :

Il existe un polynôme \(P\) tel que \(U=U_0+B'P\) et \(V=V_0-A'P\).

Puis on constate que quel que soit le polynôme \(Q\) de \(K[X]\), les polynômes \(U=U_0+B'Q\)

et \(V=V_0-A'Q\) vérifient l'égalité :

\(AU+BV=DA'(U_0+B'Q)+DB'(V_0-A'Q)=DA'U_0+DB'V_0=AU_0+BV_0=D\)

Dans cet exercice, on a \(D(X)=X^2+1\), \(U_0(X)=\frac13X\) et \(V_0(X)=-\frac13X^2-\frac13X+1\).

En divisant le polynôme \(A\) par \(D\) on obtient

\(A(X)=(X^2+1)(X^3+2X^2-X-2)\), donc \(A'(X)=(X^3+2X^2-X-2)\).

En divisant le polynôme \(B\) par \(D\) on obtient

\(B(X)=(X^2+1)(X^2+X+1)\), donc \(B'(X)=(X^2+X+1)\)

Donc les couples \((U,V)\) vérifiant \(AU+BV=D\) sont tous les couples \((U_0+B'Q,V_0-A'Q)\), soit ici :

\(\left(\frac13X+(X^2+X+1)Q(X), -\frac13X^2-\frac13X+1-(X^3+2X^2-X-2)Q(X)\right)\)

Q étant un polynome quelconque de \(K[X]\)