Arithmétique dans K[X]

1ère étape : étude dans \(Q[X]\).

On raisonne par l'absurde (4 pts). Supposons \(X^2-6\) non irréductible dans \(Q[X]\), il existe alors deux polynômes \(P\) et \(Q\), unitaires, non constants, à coefficients rationnels, tels que \(X^2-6=P(X)Q(X)\),

or \(deg(X^2-6)=2\), donc \(deg(X)=deg(Q)=1\).

Ainsi il existe deux rationnels \(a\) et \(b\) tels que

\(P(X)=X+a\), \(Q(X)=X+b\), \((X+a)(X+b)=X^2-6\), \(X^2+(a+b)X+ab=X^2-6\)

D'où \(\left\{\begin{array}{ccc}a+b&=&0\\ab&=&-6\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ccc}b&=&-a\\-a^2&=&-6\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ccc}b&=&-a\\a^2&=&6\end{array}\right.\)

Ainsi il existerait un rationnel de carré 6.

Alors \(\exists(p,q)\in Z\times N^*\), les entiers \(p\) et \(q\) étant premiers entre eux et \(\left(\frac pq\right)^2=6\) d'où \(p^2=6q^2\),

le nombre 3, divisant 6, divise le carré \(p^2\), de plus il est premier donc il divise le nombre \(p\).

Ainsi \(\exists s\in Z \qquad p=3s\), d'où \(9s^2=6q^2\) et \(3s^2=2q^2\), on en déduit que 3, divisant \(2q^2\) et étant premier avec 2, divise aussi \(q\). Alors 3 est un diviseur commun à \(p\) et \(q\), ce qui contredit la propriété : "les entiers \(p\) et \(q\) sont premiers entre eux".

Donc il n'existe pas de rationnel de carré 6.(5 pts)

Conclusion : le polynôme \(X^2-6\) est irréductible dans \(Q[X]\).(5 pts)

2ième étape : étude dans \(R[X]\)

On a immédiatement \(X^2-6=(X+\sqrt{6})(X-\sqrt{6})\) donc

le polynôme \(X^2-6\) n'est pas irréductible dans \(R[X]\).(6 pts)