Polynôme irréductible divisant une puissance
Durée : 8 mn
Note maximale : 20
Question
Soient \(P\) et \(A\) deux éléments de \(K[X]\), \(P\) étant irréductible.
Montrer, que s'il existe un entier strictement positif \(n\) tel que \(P\) divise \(A^n\), alors \(P\) divise \(A\).
Solution
On utilise un raisonnement par récurrence.(5 pts)
Notons \(P(n)\) la propriété : \(P\) divise \(A^n\Rightarrow P\) divise \(A\).
Il est évident que la propriété \(P(1)\) est satisfaite.(5 pts)
Supposons \(P(n)\) satisfaite, montrons que \(P(n+1)\) est aussi satisfaite.
On part donc de l'hypothèse : \(P\) divise \(A^{n+1}\), donc \(P\) divise le produit \(AA^n\).
Comme \(P\) est irréductible, il divise nécessairement l'un des facteurs. Deux cas peuvent se présenter.
1er cas : \(P\) divise \(A\), c'est ce qu'on cherche.
2ième cas : \(P\) divise \(A^n\), alors en appliquant \(P(n)\) on obtient \(P\) divise \(A\).
Dans les deux cas, on atteint la conclusion : \(P\) divise \(A\).
Donc \(P(n+1)\) est satisfaite.(10 pts)
Le raisonnement par récurrence est ainsi terminé.
Commentaire : On peut rapprocher ce résultat de celui analogue dans \(Z\) ; si un nombre premier divise une puissance d'un entier, alors il divise cet entier.