Valuations et décompositions en facteurs irréductibles
Durée : 10 mn
Note maximale : 20
Question
Dans \(R[X]\) on considère les polynômes suivants :
\(A(X)=(X-1)^3(X+2)(X^2+1)^4\)
\(\Delta(X)=(X-1)^2(X^2+1)^4\)
\(\Omega(X)=(X-1)^3(X+2)(X^2+1)^5(X^2+3)^2\)
On recherche un polynôme unitaire \(B\) satisfaisant à \(PGCD(A,B)=\Delta\) et \(PPCM(A,B)=\Omega\).
En supposant l'existence de \(B\), établir la liste des polynômes unitaires irréductibles qui le divisent.
En supposant l'existence de \(B\), calculer la valuation de \(B\) en chaque polynôme de la liste précédente.
Conclure sur l'existence de \(B\) et donner sa décomposition en facteurs irréductibles.
Solution
(8 pts) Supposons donc l'existence de \(B\).
Par définition du PGCD tout polynôme irréductible diviseur de \(\Delta\) est un polynôme irréductible diviseur de \(B\).
Par définition du PPCM tout polynôme irréductible diviseur de B est un polynôme irréductible diviseur de \(\Omega\).
En utilisant le théorème : Lien entre décomposition en éléments irréductibles et la notion de PPCM, tout facteur irréductible de \(\Omega\) est nécessairement un facteur irréductible de \(A\) ou de \(B\).
Donc \(X-1\) et \(X^2+1\), qui sont les facteurs irréductibles de \(\Delta\), sont aussi des facteurs irréductibles de \(B\).
En examinant les facteurs irréductibles de \(\Omega\), il reste à étudier \(X+2\) et \(X^2+3\).
Le premier \(X+2\) est un facteur irréductible de \(A\) et ne divise pas \(\Delta\), donc il ne peut pas diviser \(B\).
Le second \(X^2+3\) ne divise pas \(A\) donc il divise nécessairement \(B\).
D'où la liste demandée : \(X-1,~X^2+1,~X^2+3\).
(7 pts) On vient d'établir que si \(B\) existe, alors il existe trois entiers positifs \(\alpha,~\beta,~\gamma\)
tels que \(B(X)=(X-1)^{\alpha}(X^2+1)^{\beta}(X^2+3)^{\gamma}\).
En utilisant le théorème : Lien entre décomposition en éléments irréductibles et les notions de PGCD et de PPCM, on obtient
\(\nu_{X-1}(\Delta)=min(\nu_{X-1}(A),\nu_{X-1}(B))\), donc \(2=min(3,\alpha)\) d'où \(\alpha=2\)
\(\nu_{X^2+1}(\Omega)=max(\nu_{X^2+1}(A),\nu_{X^2+1}(B))\), donc \(5=max(4,\beta)\) d'où \(\beta=5\)
\(\nu_{X^2+3}(\Omega)=max(\nu_{X^2+3}(A),\nu_{X^2+3}(B))\), donc \(2=max(0,\gamma)\) d'où \(\gamma=2\).
Ainsi \(\nu_{X-1}(B)=2,~\nu_{X^2+1}(B)=5,~\nu_{X^2+3}(B)=2\).
(5 pts) D'après les questions précédentes, si le polynôme \(B\) existe, alors il est égal à \((X-1)^2(X^2+1)^5(X^2+3)^2\).
On vérifie aisément que ce dernier polynôme est unitaire, que son PGCD avec \(A\) est \(\Delta\) et que son PPCM avec \(A\) est \(\Omega\). C'est donc une solution au problème posé.
Il y a unicité d'après les questions 1. et 2..
Enfin \(B(X)=(X-1)^2(X^2+1)^5(X^2+3)^2\).
Remarque : Le but de l'exercice était de travailler sur la notion de valuation.
Si on recherchait seulement \(B\), l'utilisation de la relation : \(AB=PGCD(A,B)PPCM(A,B)\) aurait mené plus directement au résultat.