PGCD et recherche de tous les couples vérifiant l'identité de Bézout
Partie
Question
Trouver le PGCD dans \(K[X]\) (K étant R ou C) des polynômes \(A\) et \(B\) suivants :
\(A(X)=X^4+1\) et \(B(X)=X^3-X^2+1\).
Aide simple
Dans l'algorithme d'Euclide, on fait des divisions successives et le PGCD est le dernier reste non nul à une constante multiplicative près.
Aide à la lecture
Dans cet exercice, on cherche tous les couples intervenant dans l'identité de Bézout.
Aide méthodologique
Appliquer l'algorithme d'Euclide pour déterminer le PGCD de \(A\) et \(B\) et un couple vérifiant l'identité de Bézout.
Solution détaillée
On applique l'algorithme d'Euclide pour déterminer le PGCD de A et B
où \(A(X)=X^4+1\) et \(B(X)=X^3-X^2+1\).
On obtient successivement :
(1) :\(X^4+1=(X^3-X^2+1)(X+1)+X^2-X\)
(2) :\(X^3-X^2+1=(X^2-X)X+1\)
Le dernier reste non nul étant 1, on a donc \(PGCD(A,B)=1\), donc \(A\) et \(B\) sont premiers entre eux.
De l'égalité (1) on déduit : \(X^2-X=A(X)-(X+1)B(X)\)
et de l'égalité (2) : \(B(X)-(X^2-X)X\)
On a donc \(1=B(X)-[A(X)-(X+1)B(X)]X\)
puis en regroupant les multiples de \(A(X)\) et de \(B(X)\), on obtient :
\(1=-XA(X)+[1+(X+1)X]B(X)=-XA(X)+(X^2+X+1)B(X)\)
Cette méthode permet de trouver un couple \((U_0,V_0)\) tel que : \(AU_0+BV_0=1\)
\(U_0=-X\) et \(V_0=X^2+X+1\).
Question
Soit \(D\) ce PGCD, déterminer tous les couples \((U,V)\) de polynômes qui vérifient l'identité de Bézout \(AU+BV=D\).
Aide simple
Après avoir trouvé un couple, chercher les conditions nécessaires auxquelles doit satisfaire un autre couple (on pourra se servir du théorème de Gauss : si un polynôme divise un produit de deux polynômes et s'il est premier avec l'un, il divise alors l'autre) et montrer ensuite que ces conditions sont suffisantes.
Aide à la lecture
Dans cet exercice, on cherche tous les couples intervenant dans l'identité de Bézout.
Aide méthodologique
Construire à partir du couple trouvé en 1. tous les couples vérifiant l'identité de Bézout.
Solution détaillée
Soit un autre couple \((U_1,V_1)\) tel que \(AU_1+BV_1=1\).
Cela entraîne : \(AU_0+BV_0=AU_1+BV_1\) d'où \(A(U_0-U_1)=B(V_1-V_0)\).
Comme \(A\) et \(B\) sont premiers entre eux, on déduit du théorème de Gauss que \(A\)
divise \(V_1-V_0\), donc il existe un polynôme \(P\) tel que \(V_1-V_0=AP\).
On obtient alors : \(A(U_0-U_1)=BAP\) donc \(U_0-U_1=BP\)(puisque \(A\) est non nul).
Donc tout couple \((U_1,V_1)\) tel que \(AU_1+BV_1=1\) vérifie la condition suivante :
Il existe un polynôme \(P\) tel que \(U_1=U_0-BP\) et \(V_1=V_0+AP\).
C'est la condition nécessaire cherchée.
On montre que cette condition est suffisante. En effet :
quel que soit le polynôme \(Q\) de \(K[X]\), les polynômes \(U=U_0-BQ\) et \(V=V_0+AQ\) vérifient les égalités :
\(AU+BV=A(U_0-BQ)+B(V_0+AQ)=AU_0+BV_0=1\)
Les polynômes \(U=U_0-BQ\) et \(V=V_0+AQ\) vérifient l'égalité \(AU+BV=1\).
Conclusion : les polynômes \(U\) et \(V\) qui vérifient l'égalité \(AU+BV=1\) sont les polynômes
\(U=U_0-BQ\) et \(V=V_0+AQ\), où \(Q\) est un polynôme quelconque de \(K[X]\).
Donc ici, les couples \((U,V)\) de polynômes qui vérifient l'égalité
\((X^4-1)U(X)+(X^3-X^2+1)V(X)=1\)
sont tous les couples \((-X-(X^2-X^2+1)Q(X),X^2+X+1+(X^4+1)Q(X))\)
où \(Q\) est un polynôme quelconque de \(K[X]\).