Irréductibilité sur Q, sur R, sur C
Partie
Question
Étudier l'irréductibilité du polynôme \(X^2+2\) dans \(R[X]\) puis dans \(C[X]\).
Aide méthodologique
Dans le premier cas utiliser un raisonnement par l'absurde.
Solution détaillée
1ère étape : étude dans \(R[X]\).
On raisonne par l'absurde.
Supposons \(X^2+2\) non irréductible dans \(R[X]\), il existe alors deux polynômes \(P\) et \(Q\), unitaires, non constants, à coefficients réels, tels que \(X^2+2=P(X)Q(X)\),
or \(deg(X^2+2)=2\), donc \(deg(P)=deg(Q)=1\).
Ainsi il existe deux réels \(a\) et \(b\) tels que
\(P(X)=X+a,Q(X)=X+b,(X+a)(X+b)=X^2+2\)
\(X^2+(a+b)X +ab=X^2+2\)
D'où \(\left\{\begin{array}{c}a+b=0\\ab=2\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{array}{c}b=-a\\-a^2=2\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{array}{c}b=-a\\a^2=-2\end{array}\right.\)
On aboutit à une absurdité car le carré d'un réel n'est jamais négatif.
Conclusion : le polynôme \(X^2+2\) est irréductible dans \(R[X]\).
2ième étape : étude dans \(C[X]\).
On a immédiatement \(X^2+2=(X+i\sqrt{2})(X-i\sqrt{2})\) donc le polynôme \(X^2+2\) n'est pas irréductible dans \(C[X]\).
Question
Montrer qu'il n'existe pas de rationnel dont le carré est égal à 3.
Aide simple
Tout rationnel peut s'écrire comme le quotient de deux entiers premiers entre eux.
Un nombre premier qui divise un produit d'entiers divise l'un des facteurs.
Aide méthodologique
Utiliser un raisonnement par l'absurde
Solution détaillée
On raisonne par l'absurde. Supposons qu'il existe un rationnel de carré 3,
alors \(\exists(p,q)\in Z\times N^*\), les entiers \(p\) et \(q\) étant premiers entre eux et \(\left(\frac{p}{q}\right)^2=3\)
d'où \(p^2=3q^2\), le nombre 3, divisant le carré \(p^2\) et étant premier, divise le nombre \(p\).
Ainsi \(\exists s\in Z\) \(p=3s\), d'où \(9s^2=3q^2\) et \(3s^2=q^2\), on en déduit que 3 divisant \(q^2\) divise aussi \(q\). Alors 3 est un diviseur commun à \(p\) et \(q\), ce qui contredit la propriété : "les entiers \(p\) et \(q\) sont premiers entre eux".
Question
Étudier l'irréductibilité du polynôme \(x^2-3\)dans \(Q[X]\), puis dans \(R[X]\).
Aide méthodologique
Dans l'autre cas utiliser un raisonnement direct.
Solution détaillée
1ère étape : étude dans \(Q[X]\).
On raisonne par l'absurde.
Supposons \(X^2-3\) non irréductible dans \(Q[X]\), il existe alors deux polynômes P et Q, unitaires, non constants, à coefficients rationnels, tels que \(X^2-3=P(X)Q(X)\),
or \(deg(X^2-3)=2\), donc \(deg(P)=deg(Q)=1\).
Ainsi il existe deux rationnels \(a\) et \(b\) tels que
\(P(X)=X+a, Q(X)=X+b, (X+a)(X+b)=X^2-3\)
\(X^2+(a+b)X+ab=X^2-3\)
D'où \(\left\{\begin{array}{c}a+b=0\\ab=-3\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{array}{c}b=-a\\-a^2=-3\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{array}{c}b=-a\\a^2=3\end{array}\right.\).
On aboutit à une absurdité car d'après le a- il n'existe pas de rationnel de carré 3.
Conclusion : le polynôme \(X^2-3\) est irréductible dans \(Q[X]\).
2ième étape : étude dans \(R[X]\).
On a immédiatement \(X^2-3=(X+\sqrt{3})(X-\sqrt{3})\) donc le polynôme \(X^2-3\) n'est pas irréductible dans \(R[X]\).