Arithmétique dans K[X]

1ère étape : étude dans $R[X]$.

On raisonne par l'absurde.

Supposons $X^2+2$ non irréductible dans $R[X]$, il existe alors deux polynômes $P$ et $Q$, unitaires, non constants, à coefficients réels, tels que $X^2+2=P(X)Q(X)$,

or $deg(X^2+2)=2$, donc $deg(P)=deg(Q)=1$.

Ainsi il existe deux réels $a$ et $b$ tels que

$P(X)=X+a,Q(X)=X+b,(X+a)(X+b)=X^2+2$

$X^2+(a+b)X +ab=X^2+2$

D'où $\left\{\begin{array}{c}a+b=0\\ab=2\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{c}b=-a\\-a^2=2\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{c}b=-a\\a^2=-2\end{array}\right.$

On aboutit à une absurdité car le carré d'un réel n'est jamais négatif.

Conclusion : le polynôme $X^2+2$ est irréductible dans $R[X]$.

2ième étape : étude dans $C[X]$.

On a immédiatement $X^2+2=(X+i\sqrt{2})(X-i\sqrt{2})$ donc le polynôme $X^2+2$ n'est pas irréductible dans $C[X]$.

On raisonne par l'absurde. Supposons qu'il existe un rationnel de carré 3,

alors $\exists(p,q)\in Z\times N^*$, les entiers $p$ et $q$ étant premiers entre eux et $\left(\frac{p}{q}\right)^2=3$

d'où $p^2=3q^2$, le nombre 3, divisant le carré $p^2$ et étant premier, divise le nombre $p$.

Ainsi $\exists s\in Z$ $p=3s$, d'où $9s^2=3q^2$ et $3s^2=q^2$, on en déduit que 3 divisant $q^2$ divise aussi $q$. Alors 3 est un diviseur commun à $p$ et $q$, ce qui contredit la propriété : "les entiers $p$ et $q$ sont premiers entre eux".

1ère étape : étude dans $Q[X]$.

On raisonne par l'absurde.

Supposons $X^2-3$ non irréductible dans $Q[X]$, il existe alors deux polynômes P et Q, unitaires, non constants, à coefficients rationnels, tels que $X^2-3=P(X)Q(X)$,

or $deg(X^2-3)=2$, donc $deg(P)=deg(Q)=1$.

Ainsi il existe deux rationnels $a$ et $b$ tels que

$P(X)=X+a, Q(X)=X+b, (X+a)(X+b)=X^2-3$

$X^2+(a+b)X+ab=X^2-3$

D'où $\left\{\begin{array}{c}a+b=0\\ab=-3\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{c}b=-a\\-a^2=-3\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{c}b=-a\\a^2=3\end{array}\right.$.

On aboutit à une absurdité car d'après le a- il n'existe pas de rationnel de carré 3.

Conclusion : le polynôme $X^2-3$ est irréductible dans $Q[X]$.

2ième étape : étude dans $R[X]$.

On a immédiatement $X^2-3=(X+\sqrt{3})(X-\sqrt{3})$ donc le polynôme $X^2-3$ n'est pas irréductible dans $R[X]$.